Kalkulačka permutací a kombinací online

Tato kalkulačka permutací a kombinací vám pomůže spočítat, kolik možných výsledků existuje při výběru, uspořádání, pořadí, losování, tvorbě hesla, sestavení týmu nebo při opakovaném výběru. Zadejte celkový počet prvků, určete, kolik z nich se vybírá nebo řadí, a nástroj zobrazí přesný výsledek se vzorcem a srozumitelným vysvětlením.

Sdílet tohle?

Kopírovat odkaz ✓

Co znamená n a r

n je celkový počet dostupných prvků. r je počet prvků, které se vybírají, řadí nebo umisťují na pozice.

Příklad: pokud máte 10 lidí a vybíráte 3 z nich, pak n = 10 a r = 3. Správný vzorec závisí na tom, zda záleží na pořadí a zda lze stejný prvek vybrat více než jednou.

Vizualizace permutace a kombinace

Permutace: na pořadí záleží

Permutaci použijte tehdy, když se různá pořadí počítají jako různé výsledky.

Příklad: výběr vítězů na 1., 2. a 3. místě z 10 lidí je permutace. Alice, Bob, Chris je jiný výsledek než Bob, Alice, Chris, protože se změnilo pořadí.

Vzorec je:

nPr = n! / (n – r)!

Časté použití:

• určení pořadí vítězů
• přidělení sedadel
• uspořádání vybraných prvků
• seřazení finalistů
• tvorba kódů bez opakování znaků

Kombinace: na pořadí nezáleží

Kombinaci použijte tehdy, když je důležitá skupina, ale ne její pořadí.

Příklad: výběr 3 lidí z 10 do komise je kombinace. Alice, Bob, Chris je stejná skupina jako Chris, Bob, Alice.

Vzorec je:

nCr = n! / (r! × (n – r)!)

Časté použití:

• výběr týmu
• sestavení komise
• výběr čísel při losování
• výběr přísad, když na pořadí nezáleží
• výběr vítězů ankety bez určování pořadí

Permutace s opakováním

Permutaci s opakováním použijte tehdy, když záleží na pořadí a stejný prvek lze použít znovu.

Příklad: čtyřmístný PIN z číslic 0 až 9 má pro každou pozici 10 možností. Stejná číslice se může opakovat, takže 1111 je povoleno. Výsledek je 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.

Vzorec je:

n^r

Časté použití:

• PIN kódy
• vzory hesel
• kódy podobné registračním značkám
• uspořádané volby, kde je povoleno opakování

Kombinace s opakováním

Kombinaci s opakováním použijte tehdy, když na pořadí nezáleží a stejný typ lze vybrat více než jednou.

Příklad: při výběru 3 kopečků zmrzliny z 10 příchutí může být opakování povoleno. Vanilka, vanilka, čokoláda je jiný výběr než vanilka, čokoláda, jahoda, ale vanilka, vanilka, čokoláda zůstává stejným výběrem bez ohledu na pořadí zápisu.

Vzorec je:

C(n + r – 1, r)

Časté použití:

• výběr opakovaných položek z menu
• výběr kopečků, přísad nebo typů produktů
• počítání skupinových voleb s povoleným opakováním
• úlohy s vícenásobným výběrem, kde na pořadí nezáleží

Faktoriál

Faktoriál udává, kolika způsoby lze uspořádat všechny různé prvky.

Například 5! znamená:

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Faktoriály se používají ve vzorcích pro permutace a kombinace. Kalkulačka podporuje také zvláštní případ 0! = 1.

Jak vybrat správný režim

Položte si dvě otázky:

• Záleží na pořadí? Pokud ano, použijte permutaci. Pokud ne, použijte kombinaci.
• Lze stejný prvek vybrat více než jednou? Pokud ano, použijte režim s opakováním.

Proč se výsledky mohou výrazně lišit

Stejné hodnoty n a r mohou dát velmi odlišné výsledky podle zvoleného režimu. Pro n = 10 a r = 3 dává permutace 720, zatímco kombinace 120. Permutace je větší, protože počítá různá pořadí zvlášť.

Počet výsledků může zvýšit také opakování. Kód se 4 pozicemi z 10 číslic s opakováním má 10 000 možných výsledků, protože na každé pozici lze znovu použít libovolnou číslici.

Praktické příklady

Pořadí vítězů

Pokud se soutěže účastní 12 lidí a potřebujete určit 1., 2. a 3. místo, použijte permutaci. Na pořadí záleží, protože každé oceněné místo je jiné.

Výběr komise

Pokud je k dispozici 12 lidí a vybíráte 3 do komise, použijte kombinaci. Stejní 3 lidé tvoří stejnou komisi bez ohledu na pořadí jmen.

PIN kódy a hesla

Pokud má kód 4 pozice a na každé pozici může být libovolná z 10 číslic, použijte permutaci s opakováním. Na pořadí záleží a číslice se mohou opakovat.

Výběry při losování

Pokud vybíráte čísla a na pořadí tažení nezáleží, použijte kombinaci. Los se čísly 3, 8, 15, 22, 31, 44 představuje stejný výběr bez ohledu na to, které z těchto čísel bylo taženo jako první.

Výběr z menu s opakováním

Pokud vybíráte 3 položky z několika typů a opakování je povoleno, použijte kombinaci s opakováním. Platí to tehdy, když na pořadí nezáleží, ale stejné volby se mohou opakovat.

Co ukazuje porovnávací tabulka

Kalkulačka porovnává čtyři metody pro stejná n a r: permutaci bez opakování, kombinaci bez opakování, permutaci s opakováním a kombinaci s opakováním. Díky tomu snadno ověříte, zda jste zvolili správný vzorec.

Pokud je u některé metody uvedeno „Neplatné“, obvykle to znamená, že za daného pravidla není situace možná. Například nelze bez opakování vybrat 8 různých prvků, když máte k dispozici pouze 5 prvků.

Tipy pro zadávání

• Používejte pouze celá čísla.
• n použijte pro celkový počet dostupných prvků.
• r použijte pro počet prvků, které se vybírají, řadí nebo umisťují na pozice.
• Pokud opakování není povoleno, r nemůže být větší než n.
• Pokud je opakování povoleno, r může být v mnoha úlohách větší než n.
• Pokud si nejste jistí správným režimem, použijte rozbalovací nabídku typu příkladu.

Časté chyby

• Použití kombinace pro pořadí: pořadí vyžaduje permutace, protože na pořadí záleží.
• Použití permutace pro týmy: týmy obvykle vyžadují kombinace, protože na pořadí nezáleží.
• Opomenutí opakování: hesla, PINy a opakované volby z menu často opakování dovolují.
• Použití r většího než n bez opakování: nelze vybrat více jedinečných prvků, než kolik jich existuje.
• Záměna faktoriálu s nPr: n! řadí všech n prvků, zatímco nPr řadí pouze r z nich.

CalcuLife.com