Ce calculateur de permutations et combinaisons vous aide à compter le nombre de résultats possibles dans un problème de sélection, d’arrangement, de classement, de tirage, de code, d’équipe ou de choix avec répétition. Indiquez le nombre total d’éléments, choisissez combien sont sélectionnés ou arrangés, puis l’outil affiche le résultat exact avec la formule et une explication claire.
Calculateur de permutations et combinaisons
Calculez nPr, nCr, les cas avec répétition, les factorielles, les formules, les étapes et les comparaisons.
Choisissez un type de calcul, saisissez n et r, puis obtenez le résultat exact avec une explication claire et les étapes de la formule.
Ce que signifient n et r
n est le nombre total d’éléments disponibles. r est le nombre d’éléments choisis, arrangés ou placés dans des positions.
Exemple : s’il y a 10 personnes et que vous en choisissez 3, alors n = 10 et r = 3. La bonne formule dépend de deux choses : l’ordre compte-t-il, et le même élément peut-il être choisi plusieurs fois ?
Visualisation des permutations et des combinaisons
Permutation : l’ordre compte
Utilisez une permutation lorsque des ordres différents donnent des résultats différents.
Exemple : choisir la 1re, la 2e et la 3e place parmi 10 personnes est une permutation. Alice, Bob, Chris est différent de Bob, Alice, Chris, car le classement a changé.
La formule est :
nPr = n! / (n – r)!
Utilisations fréquentes :
- classer des gagnants
- attribuer des places
- arranger des éléments sélectionnés
- ordonner des finalistes
- créer des codes sans caractères répétés
Combinaison : l’ordre ne compte pas
Utilisez une combinaison lorsque seul le groupe compte, pas l’ordre.
Exemple : choisir 3 personnes parmi 10 pour former un comité est une combinaison. Alice, Bob, Chris forme le même groupe que Chris, Bob, Alice.
La formule est :
nCr = n! / (r! × (n – r)!)
Utilisations fréquentes :
- choisir une équipe
- former un comité
- choisir des numéros de loterie
- sélectionner des garnitures quand l’ordre ne compte pas
- désigner des gagnants de sondage sans les classer
Permutation avec répétition
Utilisez une permutation avec répétition lorsque l’ordre compte et que le même élément peut être réutilisé.
Exemple : un code PIN à 4 chiffres utilisant les chiffres de 0 à 9 offre 10 choix pour chaque position. Un même chiffre peut se répéter, donc 1111 est autorisé. Le résultat est 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.
La formule est :
nr
Utilisations fréquentes :
- codes PIN
- modèles de mots de passe
- codes de type plaque d’immatriculation
- choix ordonnés avec répétitions autorisées
Combinaison avec répétition
Utilisez une combinaison avec répétition lorsque l’ordre ne compte pas et que le même type peut être choisi plusieurs fois.
Exemple : choisir 3 boules de glace parmi 10 parfums peut autoriser les répétitions. Vanille, vanille, chocolat est une sélection différente de vanille, chocolat, fraise, mais vanille, vanille, chocolat reste la même sélection quel que soit l’ordre d’énumération.
La formule est :
C(n + r – 1, r)
Utilisations fréquentes :
- choisir plusieurs articles de menu identiques
- sélectionner des boules, des garnitures ou des types de produits
- compter des choix groupés avec répétitions autorisées
- résoudre des problèmes de choix multiples où l’ordre ne compte pas
Factorielle
Une factorielle compte le nombre de façons d’arranger tous les éléments distincts.
Par exemple, 5! signifie :
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Les factorielles sont utilisées dans les formules de permutation et de combinaison. Le calculateur prend aussi en charge le cas particulier 0! = 1.
Comment choisir le bon mode
Posez-vous deux questions :
- L’ordre compte-t-il ? Si oui, utilisez une permutation. Sinon, utilisez une combinaison.
- Le même élément peut-il être choisi plusieurs fois ? Si oui, utilisez un mode avec répétition.
| Situation | Mode à utiliser |
|---|---|
| Choisir 3 gagnants pour la 1re, la 2e et la 3e place | Permutation |
| Choisir 3 personnes pour une équipe | Combinaison |
| Créer un code PIN à 4 chiffres où les chiffres peuvent se répéter | Permutation avec répétition |
| Choisir 3 boules de glace avec des parfums pouvant se répéter | Combinaison avec répétition |
| Ranger les 6 livres sur une étagère | Factorielle |
Pourquoi les résultats peuvent être très différents
Les mêmes valeurs de n et r peuvent donner des résultats très différents selon le mode. Pour n = 10 et r = 3, une permutation donne 720, tandis qu’une combinaison donne 120. La permutation est plus grande, car elle compte les ordres différents séparément.
La répétition peut aussi augmenter le nombre de résultats. Un code à 4 positions utilisant 10 chiffres avec répétition offre 10 000 résultats possibles, car chaque position peut réutiliser n’importe quel chiffre.
Exemples concrets
Classement de gagnants
Si 12 personnes participent à un concours et que vous devez attribuer la 1re, la 2e et la 3e place, utilisez une permutation. L’ordre compte, car chaque prix correspond à une position différente.
Choix d’un comité
Si 12 personnes sont disponibles et que vous en choisissez 3 pour un comité, utilisez une combinaison. Les mêmes 3 personnes forment le même comité, quel que soit l’ordre de leurs noms.
Codes PIN et mots de passe
Si un code a 4 positions et que chaque position peut utiliser l’un des 10 chiffres, utilisez une permutation avec répétition. L’ordre compte, et les chiffres peuvent se répéter.
Sélections de type loterie
Si vous choisissez des numéros et que l’ordre du tirage ne compte pas, utilisez une combinaison. Un billet avec 3, 8, 15, 22, 31, 44 reste la même sélection, quel que soit le numéro tiré en premier.
Choix de menu avec répétitions
Si vous choisissez 3 éléments parmi plusieurs types et que les répétitions sont autorisées, utilisez une combinaison avec répétition. Cela fonctionne lorsque l’ordre ne compte pas, mais que les doublons sont autorisés.
Ce que montre le tableau de comparaison
Le calculateur compare quatre méthodes pour les mêmes valeurs de n et r : permutation sans répétition, combinaison sans répétition, permutation avec répétition et combinaison avec répétition. Cela vous aide à vérifier que vous avez choisi la bonne formule.
Si une méthode indique « Non valide », cela signifie généralement que la situation est impossible avec cette règle. Par exemple, vous ne pouvez pas choisir 8 éléments distincts parmi seulement 5 éléments sans répétition.
Conseils de saisie
- Utilisez uniquement des nombres entiers.
- Utilisez n pour le nombre total d’éléments disponibles.
- Utilisez r pour le nombre d’éléments choisis, arrangés ou placés dans des positions.
- Si la répétition n’est pas autorisée, r ne peut pas être supérieur à n.
- Si la répétition est autorisée, r peut être supérieur à n dans de nombreux problèmes.
- Utilisez la liste des types d’exemples si vous ne savez pas quel mode correspond à votre problème.
Erreurs fréquentes
- Utiliser une combinaison pour un classement : les classements nécessitent des permutations, car l’ordre compte.
- Utiliser une permutation pour une équipe : les équipes utilisent généralement des combinaisons, car l’ordre ne compte pas.
- Oublier la répétition : les mots de passe, les codes PIN et les choix de menu répétés autorisent souvent les répétitions.
- Utiliser r supérieur à n sans répétition : vous ne pouvez pas choisir plus d’éléments distincts qu’il n’en existe.
- Confondre factorielle et nPr : n! arrange les n éléments, tandis que nPr n’en arrange que r.
CalcuLife.com
Laisser un commentaire