تساعدك حاسبة التباديل والتوافيق على حساب عدد النتائج الممكنة في مسائل الاختيار، أو الترتيب، أو التصنيف، أو السحب، أو كلمات المرور، أو الفرق، أو الاختيارات المتكررة. أدخل إجمالي عدد العناصر، واختر عدد العناصر التي سيتم اختيارها أو ترتيبها، وستعرض الأداة النتيجة الدقيقة مع الصيغة وشرح مبسط.
حاسبة التباديل والتوافيق
احسب nPr وnCr وحالات التكرار والمضروب والصيغ والخطوات ونتائج المقارنة.
اختر نوع الحساب، وأدخل n وr، واحصل على نتيجة العد الدقيقة مع شرح مبسط وخطوات الصيغة.
ماذا تعني n وr؟
n هي إجمالي عدد العناصر المتاحة. r هي عدد العناصر التي يتم اختيارها أو ترتيبها أو وضعها في مواضع.
مثال: إذا كان هناك 10 أشخاص واخترت 3 منهم، فإن n = 10 وr = 3. تعتمد الصيغة الصحيحة على ما إذا كان الترتيب مهمًا، وما إذا كان يمكن اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة.
توضيح بصري للتباديل والتوافيق
التباديل: الترتيب مهم
استخدم التباديل عندما تُعد الترتيبات المختلفة نتائج مختلفة.
مثال: اختيار الفائزين بالمركز الأول والثاني والثالث من بين 10 أشخاص هو مسألة تباديل. أحمد، وسارة، وخالد يختلف عن سارة، وأحمد، وخالد لأن الترتيب تغيّر.
الصيغة هي:
nPr = n! / (n – r)!
الاستخدامات الشائعة:
- ترتيب الفائزين
- تخصيص المقاعد
- ترتيب العناصر المختارة
- ترتيب المتأهلين للنهائي
- إنشاء رموز لا يُسمح فيها بتكرار الأحرف
التوافيق: الترتيب غير مهم
استخدم التوافيق عندما تكون المجموعة هي المهمة، لا ترتيب عناصرها.
مثال: اختيار 3 أشخاص من بين 10 لتشكيل لجنة هو مسألة توافيق. أحمد، وسارة، وخالد هي المجموعة نفسها مثل خالد، وسارة، وأحمد.
الصيغة هي:
nCr = n! / (r! × (n – r)!)
الاستخدامات الشائعة:
- اختيار فريق
- تشكيل لجنة
- اختيار أرقام في سحب شبيه باليانصيب
- اختيار الإضافات عندما لا يكون الترتيب مهمًا
- اختيار فائزين في استطلاع دون ترتيبهم
التباديل مع التكرار
استخدم التباديل مع التكرار عندما يكون الترتيب مهمًا ويمكن استخدام العنصر نفسه مرة أخرى.
مثال: رمز تعريفي شخصي مكوّن من 4 خانات باستخدام الأرقام من 0 إلى 9 يتيح 10 اختيارات لكل خانة. يمكن تكرار الرقم نفسه، لذلك يكون 1111 مسموحًا. النتيجة هي 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000.
الصيغة هي:
nr
الاستخدامات الشائعة:
- رموز التعريف الشخصية
- أنماط كلمات المرور
- رموز تشبه أرقام التراخيص
- اختيارات مرتبة يُسمح فيها بالتكرار
التوافيق مع التكرار
استخدم التوافيق مع التكرار عندما لا يكون الترتيب مهمًا ويمكن اختيار النوع نفسه أكثر من مرة.
مثال: اختيار 3 كرات آيس كريم من بين 10 نكهات قد يسمح بالتكرار. فانيليا، فانيليا، شوكولاتة اختيار مختلف عن فانيليا، شوكولاتة، فراولة، لكن فانيليا، فانيليا، شوكولاتة يبقى الاختيار نفسه مهما اختلف ترتيب عرضه.
الصيغة هي:
C(n + r – 1, r)
الاستخدامات الشائعة:
- اختيار عناصر قائمة يمكن تكرارها
- اختيار كرات آيس كريم أو إضافات أو أنواع منتجات
- عد الاختيارات المجمعة عندما يكون التكرار مسموحًا
- مسائل الاختيار المتعدد عندما لا يكون الترتيب مهمًا
المضروب
يحسب المضروب عدد الطرق الممكنة لترتيب كل العناصر المميزة.
على سبيل المثال، 5! تعني:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
يُستخدم المضروب داخل صيغ التباديل والتوافيق. تدعم الحاسبة أيضًا الحالة الخاصة 0! = 1.
كيفية اختيار الوضع الصحيح
اطرح سؤالين:
- هل الترتيب مهم؟ إذا كانت الإجابة نعم، استخدم التباديل. وإذا كانت لا، استخدم التوافيق.
- هل يمكن اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة؟ إذا كانت الإجابة نعم، استخدم وضعًا يسمح بالتكرار.
| الحالة | الوضع المناسب |
|---|---|
| اختيار 3 فائزين للمركز الأول والثاني والثالث | التباديل |
| اختيار 3 أشخاص لفريق | التوافيق |
| إنشاء رمز تعريفي شخصي من 4 خانات يمكن أن تتكرر فيه الأرقام | التباديل مع التكرار |
| اختيار 3 كرات آيس كريم مع إمكانية تكرار النكهات | التوافيق مع التكرار |
| ترتيب 6 كتب كلها على رف | المضروب |
لماذا قد تختلف النتائج كثيرًا؟
يمكن للقيم نفسها من n وr أن تعطي نتائج مختلفة جدًا حسب الوضع. عند n = 10 وr = 3، تعطي التباديل 720، بينما تعطي التوافيق 120. تكون نتيجة التباديل أكبر لأنها تعد الترتيبات المختلفة بشكل منفصل.
يمكن أن يزيد التكرار أيضًا عدد النتائج. رمز مكوّن من 4 خانات باستخدام 10 أرقام مع السماح بالتكرار له 10,000 نتيجة ممكنة، لأن كل خانة يمكن أن تستخدم أي رقم مرة أخرى.
أمثلة واقعية
ترتيب الفائزين
إذا شارك 12 شخصًا في مسابقة وتحتاج إلى تحديد المركز الأول والثاني والثالث، فاستخدم التباديل. الترتيب مهم لأن كل مركز له جائزة مختلفة.
اختيار لجنة
إذا كان هناك 12 شخصًا متاحًا واخترت 3 لتشكيل لجنة، فاستخدم التوافيق. الأشخاص الثلاثة أنفسهم يشكلون اللجنة نفسها مهما اختلف ترتيب أسمائهم.
رموز التعريف الشخصية وكلمات المرور
إذا كان الرمز يحتوي على 4 خانات ويمكن لكل خانة استخدام أي رقم من 10 أرقام، فاستخدم التباديل مع التكرار. الترتيب مهم، ويمكن أن تتكرر الأرقام.
اختيارات شبيهة باليانصيب
إذا اخترت أرقامًا وكان ترتيب السحب غير مهم، فاستخدم التوافيق. بطاقة سحب تحتوي على 3، 8، 15، 22، 31، 44 تمثل الاختيار نفسه بغض النظر عن الرقم الذي سُحب أولًا.
اختيارات قائمة مع تكرار
إذا اخترت 3 عناصر من عدة أنواع وكان التكرار مسموحًا، فاستخدم التوافيق مع التكرار. ينطبق ذلك عندما لا يكون الترتيب مهمًا لكن يُسمح بتكرار الاختيارات.
ماذا يعرض جدول المقارنة؟
تقارن الحاسبة بين أربع طرق للقيم نفسها من n وr: التباديل بلا تكرار، والتوافيق بلا تكرار، والتباديل مع التكرار، والتوافيق مع التكرار. يساعدك ذلك على معرفة ما إذا كنت قد اخترت الصيغة الصحيحة.
إذا ظهرت عبارة “غير صالح” في إحدى الطرق، فهذا يعني غالبًا أن الحالة مستحيلة وفق تلك القاعدة. على سبيل المثال، لا يمكنك اختيار 8 عناصر مميزة من 5 عناصر فقط دون تكرار.
نصائح للإدخال
- استخدم أعدادًا صحيحة فقط.
- استخدم n لإجمالي عدد العناصر المتاحة.
- استخدم r لعدد العناصر المختارة أو المرتبة أو الموضوعة في مواضع.
- إذا لم يكن التكرار مسموحًا، فلا يمكن أن تكون r أكبر من n.
- إذا كان التكرار مسموحًا، فقد تكون r أكبر من n في كثير من المسائل.
- استخدم قائمة نوع المثال إذا لم تكن متأكدًا من الوضع المناسب لمسألتك.
أخطاء شائعة
- استخدام التوافيق في مسائل الترتيب: مسائل الترتيب تحتاج إلى التباديل لأن الترتيب مهم.
- استخدام التباديل في الفرق: الفرق تحتاج عادة إلى التوافيق لأن الترتيب غير مهم.
- نسيان التكرار: كلمات المرور، ورموز التعريف الشخصية، واختيارات القائمة المتكررة غالبًا ما تسمح بالتكرار.
- استخدام r أكبر من n دون تكرار: لا يمكنك اختيار عناصر فريدة أكثر من عدد العناصر الموجودة.
- الخلط بين المضروب وnPr: n! يرتب كل عناصر n، بينما nPr يرتب فقط r منها.
كالكولايف.كوم
اترك تعليقًا