Kalkulator permutacji i kombinacji online

Ten kalkulator permutacji i kombinacji pomaga obliczyć liczbę możliwych wyników przy wyborze, ułożeniu, rankingu, losowaniu, haśle, zespole albo wyborze z powtórzeniami. Wpisz łączną liczbę elementów, wybierz, ile z nich ma zostać wybranych lub ułożonych, a narzędzie pokaże dokładny wynik, wzór i proste wyjaśnienie.

Udostępnić to?

Kopiuj link ✓

Co oznaczają n i r

n to łączna liczba dostępnych elementów. r to liczba elementów wybieranych, układanych lub umieszczanych na pozycjach.

Przykład: jeśli jest 10 osób i wybierasz 3 z nich, wtedy n = 10 oraz r = 3. Właściwy wzór zależy od tego, czy kolejność ma znaczenie i czy ten sam element można wybrać więcej niż raz.

Wizualizacja permutacji i kombinacji

Permutacja: kolejność ma znaczenie

Użyj permutacji, gdy różne kolejności liczą się jako różne wyniki.

Przykład: wybór osób na 1., 2. i 3. miejsce spośród 10 osób to permutacja. Anna, Bartek, Krzysztof to inny wynik niż Bartek, Anna, Krzysztof, ponieważ zmienił się ranking.

Wzór:

nPr = n! / (n – r)!

Typowe zastosowania:

• ranking zwycięzców
• przypisywanie miejsc
• układanie wybranych elementów
• ustalanie kolejności finalistów
• tworzenie kodów bez powtarzania znaków

Kombinacja: kolejność nie ma znaczenia

Użyj kombinacji, gdy liczy się skład grupy, a nie kolejność.

Przykład: wybór 3 osób z 10 do komisji to kombinacja. Anna, Bartek, Krzysztof to ta sama grupa co Krzysztof, Bartek, Anna.

Wzór:

nCr = n! / (r! × (n – r)!)

Typowe zastosowania:

• wybór zespołu
• tworzenie komisji
• wybór liczb w losowaniu
• wybór dodatków, gdy kolejność nie ma znaczenia
• wybór zwycięzców ankiety bez rankingu

Permutacja z powtórzeniami

Użyj permutacji z powtórzeniami, gdy kolejność ma znaczenie i ten sam element może zostać użyty ponownie.

Przykład: 4-cyfrowy PIN z cyfr od 0 do 9 ma 10 możliwości na każdej pozycji. Ta sama cyfra może się powtarzać, więc 1111 jest dozwolone. Wynik to 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.

Wzór:

n^r

Typowe zastosowania:

• kody PIN
• schematy haseł
• kody podobne do numerów rejestracyjnych
• uporządkowane wybory z dozwolonymi powtórzeniami

Kombinacja z powtórzeniami

Użyj kombinacji z powtórzeniami, gdy kolejność nie ma znaczenia i ten sam typ można wybrać więcej niż raz.

Przykład: wybór 3 gałek lodów spośród 10 smaków może dopuszczać powtórzenia. Wanilia, wanilia, czekolada to inny wybór niż wanilia, czekolada, truskawka, ale wanilia, wanilia, czekolada pozostaje tym samym wyborem niezależnie od kolejności zapisu.

Wzór:

C(n + r – 1, r)

Typowe zastosowania:

• wybór powtarzających się pozycji z menu
• wybór gałek, dodatków lub typów produktów
• zliczanie wyborów grupowych z powtórzeniami
• problemy wielokrotnego wyboru, gdy kolejność nie ma znaczenia

Silnia

Silnia określa, na ile sposobów można ułożyć wszystkie różne elementy.

Na przykład 5! oznacza:

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Silnie są używane we wzorach na permutacje i kombinacje. Kalkulator obsługuje też szczególny przypadek 0! = 1.

Jak wybrać właściwy tryb

Zadaj dwa pytania:

• Czy kolejność ma znaczenie? Jeśli tak, użyj permutacji. Jeśli nie, użyj kombinacji.
• Czy ten sam element można wybrać więcej niż raz? Jeśli tak, użyj trybu z powtórzeniami.

Dlaczego wyniki mogą się tak różnić

Te same wartości n i r mogą dawać zupełnie inne wyniki w zależności od trybu. Dla n = 10 i r = 3 permutacja daje 720, a kombinacja 120. Permutacja jest większa, bo liczy różne kolejności osobno.

Powtórzenia także mogą zwiększyć liczbę wyników. Kod z 4 pozycjami, używający 10 cyfr z powtórzeniami, ma 10 000 możliwych wyników, ponieważ na każdej pozycji można ponownie użyć dowolnej cyfry.

Przykłady z praktyki

Ranking zwycięzców

Jeśli w konkursie bierze udział 12 osób i trzeba wybrać 1., 2. oraz 3. miejsce, użyj permutacji. Kolejność ma znaczenie, ponieważ każda nagradzana pozycja jest inna.

Wybór komisji

Jeśli dostępnych jest 12 osób i wybierasz 3 do komisji, użyj kombinacji. Te same 3 osoby tworzą tę samą komisję niezależnie od kolejności nazwisk.

Kody PIN i hasła

Jeśli kod ma 4 pozycje, a każda pozycja może używać dowolnej z 10 cyfr, użyj permutacji z powtórzeniami. Kolejność ma znaczenie, a cyfry mogą się powtarzać.

Wybory jak w loterii

Jeśli wybierasz liczby, a kolejność losowania nie ma znaczenia, użyj kombinacji. Kupon z liczbami 3, 8, 15, 22, 31, 44 to ten sam wybór niezależnie od tego, która z tych liczb została wylosowana jako pierwsza.

Wybór z menu z powtórzeniami

Jeśli wybierasz 3 pozycje z kilku typów i powtórzenia są dozwolone, użyj kombinacji z powtórzeniami. To właściwy tryb, gdy kolejność nie ma znaczenia, ale można wybrać ten sam element kilka razy.

Co pokazuje tabela porównania

Kalkulator porównuje cztery metody dla tych samych wartości n i r: permutację bez powtórzeń, kombinację bez powtórzeń, permutację z powtórzeniami oraz kombinację z powtórzeniami. Dzięki temu łatwiej sprawdzić, czy wybrany wzór pasuje do zadania.

Jeśli przy jednej metodzie widzisz „Nieprawidłowe”, zwykle oznacza to, że dana sytuacja jest niemożliwa według tej zasady. Na przykład nie można wybrać 8 różnych elementów z puli 5 elementów bez powtórzeń.

Wskazówki do danych

• Używaj tylko liczb całkowitych.
• Użyj n jako łącznej liczby dostępnych elementów.
• Użyj r jako liczby elementów wybieranych, układanych lub umieszczanych na pozycjach.
• Jeśli powtórzenia nie są dozwolone, r nie może być większe niż n.
• Jeśli powtórzenia są dozwolone, w wielu zadaniach r może być większe niż n.
• Użyj listy typu przykładu, jeśli nie masz pewności, który tryb pasuje do zadania.

Częste błędy

• Używanie kombinacji do rankingów: rankingi wymagają permutacji, ponieważ kolejność ma znaczenie.
• Używanie permutacji do zespołów: zespoły zwykle wymagają kombinacji, ponieważ kolejność nie ma znaczenia.
• Pomijanie powtórzeń: hasła, kody PIN i powtarzające się wybory z menu często dopuszczają powtórzenia.
• Używanie r większego niż n bez powtórzeń: nie można wybrać więcej unikalnych elementów, niż jest dostępnych.
• Mylenie silni z nPr: n! układa wszystkie n elementów, a nPr układa tylko r z nich.

CalcuLife.com