Esta calculadora de permutaciones y combinaciones les ayuda a contar cuántos resultados posibles existen en problemas de selección, arreglo, clasificación, sorteo, contraseña, equipo o elección con repetición. Ingresen el número total de elementos, elijan cuántos se seleccionan o se ordenan, y la herramienta muestra el resultado exacto con la fórmula y una explicación clara.
Calculadora de permutaciones y combinaciones
Calcula nPr, nCr, casos con repetición, factoriales, fórmulas, pasos y resultados comparativos.
Elige un tipo de cálculo, ingresa n y r, y obtén el resultado exacto de conteo con una explicación clara y los pasos de la fórmula.
Qué significan n y r
n es el número total de elementos disponibles. r es cuántos elementos se eligen, se ordenan o se colocan en posiciones.
Ejemplo: si hay 10 personas y eligen 3, entonces n = 10 y r = 3. La fórmula correcta depende de si el orden importa y de si el mismo elemento puede elegirse más de una vez.
Visualización de permutación y combinación
Permutación: el orden importa
Usen una permutación cuando los distintos órdenes cuentan como resultados diferentes.
Ejemplo: elegir el 1.º, 2.º y 3.º lugar entre 10 personas es una permutación. Alicia, Bob y Chris es diferente de Bob, Alicia y Chris porque cambió el orden de los puestos.
La fórmula es:
nPr = n! / (n – r)!
Usos comunes:
- ordenar ganadores por puesto
- asignar asientos
- ordenar elementos seleccionados
- ordenar finalistas
- crear códigos donde no se permiten caracteres repetidos
Combinación: el orden no importa
Usen una combinación cuando importa el grupo, pero no el orden.
Ejemplo: elegir 3 personas de 10 para un comité es una combinación. Alicia, Bob y Chris forman el mismo grupo que Chris, Bob y Alicia.
La fórmula es:
nCr = n! / (r! × (n – r)!)
Usos comunes:
- elegir un equipo
- formar un comité
- elegir números en un sorteo tipo lotería
- seleccionar ingredientes cuando el orden no importa
- elegir ganadores de una encuesta sin ordenarlos por puesto
Permutación con repetición
Usen permutación con repetición cuando el orden importa y el mismo elemento puede usarse de nuevo.
Ejemplo: un PIN de 4 dígitos que usa los dígitos del 0 al 9 tiene 10 opciones para cada posición. El mismo dígito puede repetirse, así que 1111 está permitido. El resultado es 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000.
La fórmula es:
nr
Usos comunes:
- códigos PIN
- patrones de contraseñas
- códigos tipo licencia
- elecciones ordenadas donde se permiten repeticiones
Combinación con repetición
Usen combinación con repetición cuando el orden no importa y el mismo tipo puede elegirse más de una vez.
Ejemplo: elegir 3 bolas de helado entre 10 sabores puede permitir repeticiones. Vainilla, vainilla y chocolate es una selección diferente de vainilla, chocolate y fresa, pero vainilla, vainilla y chocolate es la misma sin importar cómo la escriban.
La fórmula es:
C(n + r – 1, r)
Usos comunes:
- elegir productos repetidos de un menú
- seleccionar bolas de helado, ingredientes o tipos de productos
- contar elecciones agrupadas donde se permiten repeticiones
- problemas de selección múltiple donde el orden no importa
Factorial
Un factorial cuenta de cuántas formas se pueden ordenar todos los elementos distintos.
Por ejemplo, 5! significa:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Los factoriales se usan dentro de las fórmulas de permutación y combinación. La calculadora también admite el caso especial 0! = 1.
Cómo elegir el modo correcto
Hagan dos preguntas:
- ¿Importa el orden? Si sí, usen una permutación. Si no, usen una combinación.
- ¿El mismo elemento puede elegirse más de una vez? Si sí, usen un modo con repetición.
| Situación | Usa este modo |
|---|---|
| Elegir 3 ganadores para 1.º, 2.º y 3.º lugar | Permutación |
| Elegir 3 personas para un equipo | Combinación |
| Crear un PIN de 4 dígitos donde los dígitos pueden repetirse | Permutación con repetición |
| Elegir 3 bolas de helado donde los sabores pueden repetirse | Combinación con repetición |
| Ordenar los 6 libros en un estante | Factorial |
Por qué las respuestas pueden ser muy diferentes
Los mismos valores de n y r pueden producir resultados muy diferentes según el modo. Para n = 10 y r = 3, una permutación da 720, mientras que una combinación da 120. La permutación es mayor porque cuenta los distintos órdenes por separado.
La repetición también puede aumentar el número de resultados. Un código de 4 posiciones que usa 10 dígitos con repetición tiene 10,000 resultados posibles porque cada posición puede usar cualquier dígito de nuevo.
Ejemplos reales
Ordenar ganadores por puesto
Si 12 personas participan en un concurso y necesitan elegir 1.º, 2.º y 3.º lugar, usen permutación. El orden importa porque cada puesto de premio es diferente.
Elegir un comité
Si hay 12 personas disponibles y eligen 3 para un comité, usen combinación. Las mismas 3 personas forman el mismo comité sin importar el orden de sus nombres.
Códigos PIN y contraseñas
Si un código tiene 4 posiciones y cada posición puede usar cualquiera de 10 dígitos, usen permutación con repetición. El orden importa y los dígitos pueden repetirse.
Selecciones tipo lotería
Si eligen números y el orden del sorteo no importa, usen combinación. Un boleto con 3, 8, 15, 22, 31, 44 es la misma selección sin importar cuál de esos números salió primero.
Opciones de menú con repetición
Si eligen 3 productos entre varios tipos y se permiten repeticiones, usen combinación con repetición. Esto funciona cuando el orden no importa, pero sí se permiten elecciones duplicadas.
Qué muestra la tabla comparativa
La calculadora compara cuatro métodos para los mismos valores de n y r: permutación sin repetición, combinación sin repetición, permutación con repetición y combinación con repetición. Esto les ayuda a ver si eligieron la fórmula correcta.
Si un método dice “No válido”, normalmente significa que la situación es imposible bajo esa regla. Por ejemplo, no pueden elegir 8 elementos distintos de solo 5 elementos sin repetición.
Consejos para ingresar datos
- Usen solo números enteros.
- Usen n para el número total de elementos disponibles.
- Usen r para la cantidad elegida, ordenada o colocada en posiciones.
- Si no se permite repetición, r no puede ser mayor que n.
- Si se permite repetición, r puede ser mayor que n en muchos problemas.
- Usen el menú desplegable de tipo de ejemplo si no están seguros de qué modo corresponde a su problema.
Errores comunes
- Usar combinación para puestos: los puestos necesitan permutaciones porque el orden importa.
- Usar permutación para equipos: los equipos normalmente necesitan combinaciones porque el orden no importa.
- Olvidar la repetición: las contraseñas, los PIN y las opciones repetidas de menú suelen permitir repeticiones.
- Usar r mayor que n sin repetición: no pueden elegir más elementos únicos de los que existen.
- Confundir factorial con nPr: n! ordena todos los n elementos, mientras que nPr ordena solo r de ellos.
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