この順列・組み合わせ計算機では、選択、並べ方、順位付け、抽選、パスワード、チーム作り、重複して選べる問題で、考えられる結果が何通りあるかを計算できます。対象の総数を入力し、いくつ選ぶか、またはいくつ並べるかを指定すると、正確な結果を数式とわかりやすい説明付きで表示します。
順列・組み合わせ計算機
nPr、nCr、重複ありの場合、階乗、数式、手順、比較結果を計算します。
計算方法を選び、nとrを入力すると、正確な数え上げ結果をわかりやすい説明と数式の手順付きで確認できます。
n と r の意味
n は、選べる対象の総数です。r は、その中から選ぶ数、並べる数、または位置に入れる数です。
例として、10人の中から3人を選ぶ場合は、n = 10、r = 3 です。正しい数式は、順序を区別するか、同じ対象を2回以上選べるかによって変わります。
順列と組み合わせのイメージ図
順列: 順序を区別する場合
並び順が変わると別の結果として数える場合は、順列を使います。
例として、10人の中から1位、2位、3位を選ぶ場合は順列です。アリス、ボブ、クリスの順と、ボブ、アリス、クリスの順では、順位が変わるため別の結果になります。
数式は次のとおりです。
nPr = n! / (n – r)!
よく使う場面:
- 入賞順位を決める
- 座席を割り当てる
- 選んだものを並べる
- 最終候補者に順位を付ける
- 同じ文字を繰り返せないコードを作る
組み合わせ: 順序を区別しない場合
選ばれたグループが重要で、並び順は関係ない場合は、組み合わせを使います。
例として、10人の中から委員会の3人を選ぶ場合は組み合わせです。アリス、ボブ、クリスと、クリス、ボブ、アリスは同じグループです。
数式は次のとおりです。
nCr = n! / (r! × (n – r)!)
よく使う場面:
- チームを選ぶ
- 委員会を作る
- 抽選形式で数字を選ぶ
- 順序を区別せずトッピングを選ぶ
- 順位を付けずにアンケート当選者を選ぶ
重複順列
順序を区別し、同じ対象を繰り返し使える場合は、重複順列を使います。
例として、0から9までの数字を使う4桁の暗証番号では、各桁に10通りの選択肢があります。同じ数字を繰り返せるため、1111 も許可されます。結果は 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000 です。
数式は次のとおりです。
nr
よく使う場面:
- 暗証番号
- パスワードのパターン
- 識別コードのような文字列
- 重複を許可する順序付きの選択
重複組み合わせ
順序を区別せず、同じ種類を2回以上選べる場合は、重複組み合わせを使います。
例として、10種類の味からアイスクリームを3玉選ぶ場合、同じ味を複数選べることがあります。バニラ、バニラ、チョコは、バニラ、チョコ、ストロベリーとは別の選び方ですが、バニラ、バニラ、チョコはどの順に書いても同じ選び方です。
数式は次のとおりです。
C(n + r – 1, r)
よく使う場面:
- 同じメニュー項目を繰り返し選ぶ
- アイスの玉、トッピング、商品タイプを選ぶ
- 重複を許可するグループ化された選択を数える
- 順序を区別しない複数選択の問題
階乗
階乗は、異なるすべての対象を並べる方法が何通りあるかを数えます。
たとえば、5! は次の意味です。
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
階乗は、順列や組み合わせの数式の中で使われます。この計算機では、特別な場合として 0! = 1 も扱えます。
正しい計算方法の選び方
次の2つを確認してください。
- 順序を区別しますか？ 区別する場合は順列、区別しない場合は組み合わせを使います。
- 同じ対象を2回以上選べますか？ 選べる場合は、重複ありの計算方法を使います。
| 状況 | 使う計算方法 |
|---|---|
| 1位、2位、3位の入賞者を3人選ぶ | 順列 |
| チームのために3人を選ぶ | 組み合わせ |
| 数字を繰り返せる4桁の暗証番号を作る | 重複順列 |
| 味を繰り返せるアイスクリーム3玉を選ぶ | 重複組み合わせ |
| 6冊の本をすべて本棚に並べる | 階乗 |
答えが大きく変わる理由
同じ n と r でも、計算方法によって結果は大きく変わります。n = 10、r = 3 の場合、順列では 720、組み合わせでは 120 になります。順列のほうが大きいのは、異なる並び順をそれぞれ別に数えるためです。
重複も結果の数を増やすことがあります。10個の数字を使う4桁のコードで重複を許可する場合、各位置でどの数字でも再び使えるため、考えられる結果は 10,000 通りです。
実際の例
入賞順位
12人がコンテストに参加し、1位、2位、3位を決める場合は順列を使います。賞の位置がそれぞれ違うため、順序を区別します。
委員会を選ぶ
12人の中から委員会の3人を選ぶ場合は、組み合わせを使います。同じ3人であれば、名前の並び順が変わっても同じ委員会です。
暗証番号とパスワード
コードに4つの位置があり、各位置で10個の数字のどれでも使える場合は、重複順列を使います。順序を区別し、数字の繰り返しも許可されます。
抽選形式の選択
数字を選び、引かれた順序を区別しない場合は、組み合わせを使います。3、8、15、22、31、44 の宝くじ券は、その中のどの数字が最初に引かれても同じ選択です。
重複できるメニュー選択
いくつかの種類から3つの項目を選び、同じものを繰り返し選べる場合は、重複組み合わせを使います。順序を区別しない一方で、同じ選択を複数回できる場合に適しています。
比較表でわかること
計算機では、同じ n と r について、重複なしの順列、重複なしの組み合わせ、重複順列、重複組み合わせの4つを比較します。これにより、選んだ数式が問題に合っているかを確認できます。
ある方法で「無効」と表示される場合、そのルールでは状況が成り立たないことを意味するのが一般的です。たとえば、重複なしで5個しかない対象から異なる8個を選ぶことはできません。
入力のコツ
- 整数だけを入力してください。
- n には、選べる対象の総数を入力します。
- r には、選ぶ数、並べる数、または位置に入れる数を入力します。
- 重複を許可しない場合、r は n より大きくできません。
- 重複を許可する場合、多くの問題では r が n より大きくてもかまいません。
- どの計算方法が合うかわからない場合は、例の種類のプルダウンを使ってください。
よくある間違い
- 順位付けに組み合わせを使う: 順位付けでは順序を区別するため、順列が必要です。
- チーム選びに順列を使う: チームでは通常、順序を区別しないため、組み合わせが適しています。
- 重複を見落とす: パスワード、暗証番号、同じメニューを選べる場合などは、重複を許可することがよくあります。
- 重複なしで r を n より大きくする: 存在する数より多くの異なる対象を選ぶことはできません。
- 階乗と nPr を混同する: n! は n 個すべてを並べますが、nPr はそのうち r 個だけを並べます。
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