線上排列組合計算器

這款排列與組合計算器可協助你計算選擇、排列、排名、抽選、密碼、團隊或可重複選取問題中共有多少種可能結果。輸入項目總數，選擇要取出或排列的數量，工具就會顯示精確結果、公式與白話說明。

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n 與 r 代表什麼

n 是可用項目的總數。r 是要選出、排列，或放入位置的項目數。

範例：如果有 10 個人，要從中選 3 個人，則 n = 10，r = 3。正確公式取決於順序是否重要，以及同一個項目是否可以被選取超過一次。

排列與組合示意圖

排列：順序重要

當不同順序要算作不同結果時，請使用排列。

範例：從 10 個人中選出第 1 名、第 2 名和第 3 名，就是排列問題。小美、小華、小明和小華、小美、小明是不同結果，因為名次順序改變了。

公式如下：

nPr = n! / (n – r)!

常見用途：

• 排列得獎名次
• 分配座位
• 排列已選取的項目
• 排列決賽名單順序
• 建立不可重複字元的代碼

組合：順序不重要

當重點是選出哪一組，而不是順序時，請使用組合。

範例：從 10 個人中選 3 個人組成委員會，就是組合問題。小美、小華、小明和小明、小華、小美是同一組人。

公式如下：

nCr = n! / (r! × (n – r)!)

常見用途：

• 選擇團隊成員
• 組成委員會
• 樂透式選號
• 選擇配料且順序不重要
• 不排名地抽選問卷得獎者

可重複排列

當順序重要，且同一個項目可以再次使用時，請使用可重複排列。

範例：使用 0 到 9 的數字建立 4 位數 PIN 碼時，每個位置都有 10 種選擇。同一個數字可以重複，因此 1111 是允許的。結果為 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000。

公式如下：

n^r

常見用途：

• PIN 碼
• 密碼規則
• 車牌格式代碼
• 允許重複的有序選擇

可重複組合

當順序不重要，且同一種類可以選取超過一次時，請使用可重複組合。

範例：從 10 種口味中選 3 球冰淇淋，可以允許重複。香草、香草、巧克力和香草、巧克力、草莓是不同選擇，但香草、香草、巧克力不會因列出的順序不同而改變。

公式如下：

C(n + r – 1, r)

常見用途：

• 選擇可重複的菜單項目
• 選擇冰淇淋球、配料或商品類型
• 計算允許重複的分組選擇
• 順序不重要的多選問題

階乘

階乘用來計算所有相異項目共有多少種排列方式。

例如，5! 表示：

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

階乘會用在排列與組合公式中。此計算器也支援特殊情況 0! = 1。

如何選擇正確模式

先問兩個問題：

• 順序重要嗎？如果重要，使用排列。如果不重要，使用組合。
• 同一個項目可以選取超過一次嗎？如果可以，使用可重複模式。

為什麼答案可能差很多

相同的 n 和 r，會因模式不同而得到非常不同的結果。以 n = 10、r = 3 來說，排列結果是 720，組合結果是 120。排列比較大，因為它會把不同順序分開計算。

允許重複也會增加結果數量。使用 10 個數字建立 4 個位置的代碼且允許重複時，共有 10,000 種可能結果，因為每個位置都可以再次使用任一數字。

實際範例

排列得獎名次

如果 12 個人參加比賽，需要選出第 1 名、第 2 名和第 3 名，請使用排列。順序重要，因為每個獎項位置都不同。

選擇委員會成員

如果有 12 個人可選，要選 3 個人組成委員會，請使用組合。只要是同樣 3 個人，不論名字順序如何，都是同一個委員會。

PIN 碼與密碼

如果代碼有 4 個位置，每個位置都可以使用 10 個數字中的任一個，請使用可重複排列。順序重要，而且數字可以重複。

樂透式選號

如果選號時抽出順序不重要，請使用組合。樂透彩券上的 3、8、15、22、31、44 不會因哪個號碼先被抽出而變成不同選擇。

可重複的菜單選擇

如果從多種類型中選 3 個項目，且允許重複，請使用可重複組合。這適用於順序不重要，但可以重複選取的情況。

比較表會顯示什麼

計算器會用相同的 n 和 r 比較四種方法：不重複排列、不重複組合、可重複排列與可重複組合。這能幫助你確認是否選對公式。

如果某個方法顯示「無效」，通常代表該規則下的情況不可能成立。例如，在不允許重複時，不能從只有 5 個項目中選出 8 個不同項目。

輸入建議

• 請只使用整數。
• 用 n 表示可用項目的總數。
• 用 r 表示要選出、排列，或放入位置的數量。
• 如果不允許重複，r 不能大於 n。
• 如果允許重複，在許多問題中 r 可以大於 n。
• 不確定適合哪種模式時，可使用範例類型下拉選單。

常見錯誤

• 用組合處理排名：排名需要排列，因為順序重要。
• 用排列處理團隊：團隊通常需要組合，因為順序不重要。
• 忘記是否可重複：密碼、PIN 碼和可重複的菜單選擇通常允許重複。
• 不允許重複時讓 r 大於 n：可選的相異項目數不能超過實際存在的項目數。
• 混淆階乘與 nPr：n! 會排列全部 n 個項目，而 nPr 只排列其中 r 個項目。

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