순열 조합 계산기

이 순열 및 조합 계산기는 선택, 배열, 순위, 추첨, 비밀번호, 팀 구성, 반복 선택 문제에서 가능한 경우의 수를 계산하는 데 도움이 됩니다. 전체 항목 수와 선택하거나 배열할 항목 수를 입력하면 공식과 쉬운 설명과 함께 정확한 결과를 확인할 수 있습니다.

이걸 공유하시겠어요?

링크 복사 ✓

n과 r의 의미

n은 선택할 수 있는 전체 항목 수입니다. r은 선택하거나 배열하거나 자리에 배치할 항목 수입니다.

예를 들어 10명 중 3명을 고른다면 n = 10, r = 3입니다. 올바른 공식은 순서가 중요한지, 같은 항목을 두 번 이상 선택할 수 있는지에 따라 달라집니다.

순열과 조합 시각화

순열: 순서가 중요할 때

서로 다른 순서를 각각 다른 결과로 세어야 할 때는 순열을 사용합니다.

예를 들어 10명 중 1등, 2등, 3등 수상자를 정하는 문제는 순열입니다. 지민, 민수, 서연과 민수, 지민, 서연은 순위가 달라졌으므로 서로 다른 결과입니다.

공식은 다음과 같습니다.

nPr = n! / (n – r)!

자주 쓰이는 경우:

• 수상자 순위 정하기
• 좌석 배정하기
• 선택한 항목 배열하기
• 결선 진출자 순서 정하기
• 반복 문자가 허용되지 않는 코드 만들기

조합: 순서가 중요하지 않을 때

그룹 자체가 중요하고 순서는 중요하지 않을 때는 조합을 사용합니다.

예를 들어 10명 중 위원회에 참여할 3명을 고르는 문제는 조합입니다. 지민, 민수, 서연은 서연, 민수, 지민과 같은 그룹입니다.

공식은 다음과 같습니다.

nCr = n! / (r! × (n – r)!)

자주 쓰이는 경우:

• 팀원 고르기
• 위원회 구성하기
• 복권식 번호 선택
• 순서가 중요하지 않은 토핑 선택
• 순위 없이 설문 당첨자 뽑기

중복 순열

순서가 중요하고 같은 항목을 다시 사용할 수 있을 때는 중복 순열을 사용합니다.

예를 들어 0부터 9까지의 숫자로 만드는 4자리 숫자 비밀번호는 각 자리에 10가지 선택지가 있습니다. 같은 숫자를 반복할 수 있으므로 1111도 허용됩니다. 결과는 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000입니다.

공식은 다음과 같습니다.

n^r

자주 쓰이는 경우:

• 숫자 비밀번호
• 비밀번호 패턴
• 번호판 형식의 코드
• 반복이 허용되는 순서 있는 선택

중복 조합

순서가 중요하지 않고 같은 유형을 두 번 이상 선택할 수 있을 때는 중복 조합을 사용합니다.

예를 들어 10가지 맛 중 아이스크림 3스쿱을 고를 때 같은 맛을 반복해서 고를 수 있습니다. 바닐라, 바닐라, 초콜릿은 바닐라, 초콜릿, 딸기와 다른 선택이지만, 바닐라, 바닐라, 초콜릿은 어떤 순서로 적어도 같은 선택입니다.

공식은 다음과 같습니다.

C(n + r – 1, r)

자주 쓰이는 경우:

• 반복 가능한 메뉴 항목 고르기
• 스쿱, 토핑, 상품 유형 선택하기
• 반복이 허용되는 그룹 선택 세기
• 순서가 중요하지 않은 다중 선택 문제

팩토리얼

팩토리얼은 서로 다른 모든 항목을 배열하는 경우의 수를 셉니다.

예를 들어 5!는 다음을 뜻합니다.

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

팩토리얼은 순열과 조합 공식 안에서 사용됩니다. 이 계산기는 0! = 1이라는 특수한 경우도 지원합니다.

올바른 계산 유형을 고르는 방법

다음 두 가지를 확인해 보세요.

• 순서가 중요한가요? 중요하다면 순열을 사용하세요. 중요하지 않다면 조합을 사용하세요.
• 같은 항목을 두 번 이상 선택할 수 있나요? 가능하다면 중복 유형을 사용하세요.

결과가 크게 달라지는 이유

같은 n과 r이라도 어떤 유형을 선택하느냐에 따라 결과가 크게 달라질 수 있습니다. n = 10, r = 3일 때 순열은 720, 조합은 120입니다. 순열은 서로 다른 순서를 각각 따로 세기 때문에 더 큽니다.

중복도 결과 수를 늘릴 수 있습니다. 10개의 숫자를 사용하고 반복이 허용되는 4자리 코드는 각 자리에서 어떤 숫자든 다시 사용할 수 있으므로 가능한 결과가 10,000가지입니다.

실제 예시

수상자 순위 정하기

12명이 대회에 참가했고 1등, 2등, 3등을 정해야 한다면 순열을 사용합니다. 각 상의 위치가 다르기 때문에 순서가 중요합니다.

위원회 구성하기

12명 중 위원회에 참여할 3명을 고른다면 조합을 사용합니다. 같은 3명으로 구성된 위원회는 이름을 어떤 순서로 적어도 동일합니다.

숫자 비밀번호와 비밀번호

코드에 4개의 자리가 있고 각 자리에 10개의 숫자 중 하나를 사용할 수 있다면 중복 순열을 사용합니다. 순서가 중요하고 숫자가 반복될 수 있기 때문입니다.

복권식 선택

숫자를 고르되 추첨 순서가 중요하지 않다면 조합을 사용합니다. 3, 8, 15, 22, 31, 44가 적힌 복권은 그중 어떤 숫자가 먼저 뽑혔는지와 상관없이 같은 선택입니다.

반복 가능한 메뉴 선택

여러 유형 중 3개를 고르고 반복이 허용된다면 중복 조합을 사용합니다. 순서는 중요하지 않지만 같은 선택을 여러 번 할 수 있을 때 적용됩니다.

비교 표에서 확인할 수 있는 내용

계산기는 같은 n과 r에 대해 네 가지 방법을 비교합니다. 중복 없는 순열, 중복 없는 조합, 중복 순열, 중복 조합입니다. 이를 통해 선택한 공식이 문제에 맞는지 쉽게 확인할 수 있습니다.

어떤 방법에 “유효하지 않음”이 표시되면 보통 해당 규칙에서는 그 상황이 불가능하다는 뜻입니다. 예를 들어 중복이 허용되지 않는 경우, 5개뿐인 항목에서 서로 다른 8개를 고를 수는 없습니다.

입력 팁

• 정수만 입력하세요.
• n에는 선택 가능한 전체 항목 수를 입력하세요.
• r에는 선택하거나 배열하거나 자리에 배치할 항목 수를 입력하세요.
• 중복이 허용되지 않으면 r은 n보다 클 수 없습니다.
• 중복이 허용되면 많은 문제에서 r이 n보다 클 수 있습니다.
• 어떤 유형이 문제에 맞는지 잘 모르겠다면 예시 유형 선택 메뉴를 사용하세요.

자주 하는 실수

• 순위 문제에 조합을 사용하는 경우: 순위는 순서가 중요하므로 순열이 필요합니다.
• 팀 구성에 순열을 사용하는 경우: 팀은 보통 순서가 중요하지 않으므로 조합이 필요합니다.
• 중복을 놓치는 경우: 비밀번호, 숫자 비밀번호, 반복 가능한 메뉴 선택은 중복을 허용하는 경우가 많습니다.
• 중복 없이 r을 n보다 크게 입력하는 경우: 존재하는 항목 수보다 더 많은 서로 다른 항목을 고를 수는 없습니다.
• 팩토리얼과 nPr을 혼동하는 경우: n!은 n개 전체를 배열하고, nPr은 그중 r개만 배열합니다.

CalcuLife.com