Questo calcolatore di permutazioni e combinazioni ti aiuta a contare quanti risultati possibili esistono in problemi di scelta, disposizione, classifica, estrazione, password, squadra o selezione con ripetizione. Inserisci il numero totale di elementi, scegli quanti vengono selezionati o disposti e lo strumento mostra il risultato esatto con formula e spiegazione chiara.
Calcolatore di permutazioni e combinazioni
Calcola nPr, nCr, casi con ripetizione, fattoriali, formule, passaggi e confronti.
Scegli un tipo di calcolo, inserisci n e r e ottieni il risultato esatto con una spiegazione semplice e i passaggi della formula.
Cosa significano n e r
n è il numero totale di elementi disponibili. r è il numero di elementi scelti, disposti o inseriti in posizioni.
Esempio: se ci sono 10 persone e ne scegli 3, allora n = 10 e r = 3. La formula corretta dipende dal fatto che l’ordine conti o meno e che lo stesso elemento possa essere scelto più di una volta.
Visualizzazione di permutazioni e combinazioni
Permutazione: l’ordine conta
Usa una permutazione quando ordini diversi contano come risultati diversi.
Esempio: scegliere il 1°, 2° e 3° classificato tra 10 persone è una permutazione. Alice, Bob, Chris è diverso da Bob, Alice, Chris perché la classifica è cambiata.
La formula è:
nPr = n! / (n – r)!
Usi comuni:
- classificare i vincitori
- assegnare i posti
- disporre gli elementi selezionati
- ordinare i finalisti
- creare codici in cui i caratteri non possono ripetersi
Combinazione: l’ordine non conta
Usa una combinazione quando conta il gruppo, non l’ordine.
Esempio: scegliere 3 persone su 10 per una commissione è una combinazione. Alice, Bob, Chris è lo stesso gruppo di Chris, Bob, Alice.
La formula è:
nCr = n! / (r! × (n – r)!)
Usi comuni:
- scegliere una squadra
- formare una commissione
- scegliere numeri in un’estrazione tipo lotteria
- selezionare ingredienti quando l’ordine non conta
- scegliere vincitori di un sondaggio senza classificarli
Permutazione con ripetizione
Usa la permutazione con ripetizione quando l’ordine conta e lo stesso elemento può essere riutilizzato.
Esempio: un PIN di 4 cifre con numeri da 0 a 9 ha 10 scelte per ogni posizione. La stessa cifra può ripetersi, quindi 1111 è consentito. Il risultato è 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000.
La formula è:
nr
Usi comuni:
- codici PIN
- schemi di password
- codici simili a targhe o licenze
- scelte ordinate in cui le ripetizioni sono consentite
Combinazione con ripetizione
Usa la combinazione con ripetizione quando l’ordine non conta e lo stesso tipo può essere scelto più di una volta.
Esempio: scegliere 3 palline di gelato tra 10 gusti può consentire ripetizioni. Vaniglia, vaniglia, cioccolato è una selezione diversa da vaniglia, cioccolato, fragola, ma vaniglia, vaniglia, cioccolato resta la stessa selezione qualunque sia l’ordine in cui la elenchi.
La formula è:
C(n + r – 1, r)
Usi comuni:
- scegliere voci di menu ripetute
- selezionare palline, ingredienti o tipi di prodotto
- contare scelte raggruppate in cui le ripetizioni sono consentite
- problemi di selezione multipla in cui l’ordine non conta
Fattoriale
Un fattoriale conta in quanti modi si possono disporre tutti gli elementi distinti.
Per esempio, 5! significa:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
I fattoriali vengono usati nelle formule di permutazione e combinazione. Il calcolatore supporta anche il caso speciale 0! = 1.
Come scegliere la modalità giusta
Fatti due domande:
- L’ordine conta? Se sì, usa una permutazione. Se no, usa una combinazione.
- Lo stesso elemento può essere scelto più di una volta? Se sì, usa una modalità con ripetizione.
| Situazione | Modalità da usare |
|---|---|
| Scegliere 3 vincitori per 1°, 2° e 3° posto | Permutazione |
| Scegliere 3 persone per una squadra | Combinazione |
| Creare un PIN di 4 cifre in cui le cifre possono ripetersi | Permutazione con ripetizione |
| Scegliere 3 palline di gelato con gusti che possono ripetersi | Combinazione con ripetizione |
| Disporre tutti e 6 i libri su uno scaffale | Fattoriale |
Perché i risultati possono essere molto diversi
Gli stessi valori di n e r possono produrre risultati molto diversi a seconda della modalità. Per n = 10 e r = 3, una permutazione dà 720, mentre una combinazione dà 120. La permutazione è più grande perché conta separatamente gli ordini diversi.
Anche la ripetizione può aumentare il numero di risultati. Un codice di 4 posizioni con 10 cifre e ripetizione ha 10.000 risultati possibili, perché ogni posizione può usare di nuovo qualsiasi cifra.
Esempi pratici
Classificare i vincitori
Se 12 persone partecipano a un concorso e devi assegnare il 1°, 2° e 3° posto, usa la permutazione. L’ordine conta perché ogni posizione del premio è diversa.
Scegliere una commissione
Se ci sono 12 persone disponibili e ne scegli 3 per una commissione, usa la combinazione. Le stesse 3 persone formano la stessa commissione indipendentemente dall’ordine dei nomi.
Codici PIN e password
Se un codice ha 4 posizioni e ogni posizione può usare una qualsiasi delle 10 cifre, usa la permutazione con ripetizione. L’ordine conta e le cifre possono ripetersi.
Selezioni tipo lotteria
Se scegli numeri e l’ordine di estrazione non conta, usa la combinazione. Un biglietto con 3, 8, 15, 22, 31, 44 rappresenta la stessa selezione indipendentemente da quale numero sia stato estratto per primo.
Scelte di menu con ripetizioni
Se scegli 3 elementi tra più tipi e le ripetizioni sono consentite, usa la combinazione con ripetizione. Funziona quando l’ordine non conta ma sono ammesse scelte duplicate.
Cosa mostra la tabella di confronto
Il calcolatore confronta quattro metodi per gli stessi valori di n e r: permutazione senza ripetizione, combinazione senza ripetizione, permutazione con ripetizione e combinazione con ripetizione. Così puoi capire se hai scelto la formula corretta.
Se un metodo mostra “Non valido”, di solito significa che la situazione è impossibile con quella regola. Per esempio, non puoi scegliere 8 elementi distinti da soli 5 elementi senza ripetizione.
Consigli per l’inserimento dei dati
- Usa solo numeri interi.
- Usa n per il numero totale di elementi disponibili.
- Usa r per il numero di elementi scelti, disposti o inseriti in posizioni.
- Se la ripetizione non è consentita, r non può essere maggiore di n.
- Se la ripetizione è consentita, in molti problemi r può essere maggiore di n.
- Usa il menu a tendina del tipo di esempio se non sai quale modalità sia adatta al tuo problema.
Errori comuni
- Usare la combinazione per le classifiche: le classifiche richiedono le permutazioni perché l’ordine conta.
- Usare la permutazione per le squadre: le squadre di solito richiedono le combinazioni perché l’ordine non conta.
- Dimenticare la ripetizione: password, PIN e scelte di menu ripetute spesso consentono ripetizioni.
- Usare r maggiore di n senza ripetizione: non puoi scegliere più elementi unici di quanti ne esistano.
- Confondere il fattoriale con nPr: n! dispone tutti gli n elementi, mentre nPr ne dispone solo r.
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