使用這個反矩陣計算器，立即求出 1×1 到 8×8 任意方陣的反矩陣。支援整數、小數與分數輸入，可選用高斯－喬丹消去法或伴隨矩陣法計算。適合學生、工程師與需要解線性方程組的人。
矩陣反矩陣計算器
使用高斯－喬丹消去法或伴隨矩陣法計算方陣的反矩陣，並提供完整逐步解題。可輸入整數、小數或分數（例如「1/2」「-3/4」）。
請在上方輸入矩陣數值以計算反矩陣。計算步驟會顯示在這裡。
使用方式
- 在下拉選單選擇矩陣大小（1×1 到 8×8）。
- 選擇計算方法：高斯－喬丹消去法或伴隨矩陣法（餘子式與代數餘子式）。
- 輸入矩陣各元素數值，可填整數、小數或分數（例如
3/4、-1.5）。 - 按下「計算反矩陣」開始計算。
- 往下查看逐步計算說明，以及反矩陣的分數與小數兩種表示。
反矩陣計算器如何運作
本工具使用兩種常見且成熟的數學方法來計算方陣的反矩陣：
1. 高斯－喬丹消去法
此方法透過一連串列運算，將輸入矩陣轉換成單位矩陣：
- 交換列
- 列縮放（將某一列乘上非零常數）
- 用某一列的倍數加到或減去另一列
同時，這些列運算也會套用到放在原矩陣旁的單位矩陣（形成增廣矩陣）。當原矩陣被化為單位矩陣時，旁邊被改動的單位矩陣就會變成反矩陣。
2. 伴隨矩陣法（餘子式與代數餘子式）
此方法依照下列公式：
A-1 = (1 / det(A)) × adj(A)
其中：
- det(A) 為矩陣的行列式
- adj(A) 為矩陣的伴隨矩陣（adjugate），也就是代數餘子式矩陣的轉置
每個代數餘子式的計算方式，是先取餘子式的行列式（刪掉一列與一欄後得到的子矩陣），再套用符號規則 (-1)i+j。得到的代數餘子式矩陣再做轉置，即可得到伴隨矩陣。
精度處理
計算過程會以精確分數進行運算，以降低四捨五入造成的誤差。若輸入為小數，系統會先在內部轉為分數計算，最後再視需要轉回小數顯示。
錯誤偵測
計算器會自動檢查常見錯誤，例如：
- 除以 0
- 輸入格式不正確
- 沒有反矩陣的奇異矩陣（行列式 = 0）
即使輸入分數或小數，也能維持可靠且準確的反矩陣計算結果。
FAQ
什麼是反矩陣？
反矩陣是指一個矩陣與原矩陣相乘後會得到單位矩陣的矩陣。只有行列式不為 0 的方陣才有反矩陣。
如何判斷矩陣有沒有反矩陣？
若矩陣的行列式為 0，代表它是奇異矩陣，沒有反矩陣。本計算器會自動檢查並提示。
這個計算器使用哪些方法？
你可以選擇高斯－喬丹消去法或伴隨矩陣法（餘子式與代數餘子式）。兩者都常用且可用來求反矩陣。
可以輸入哪些數字格式？
支援整數、小數（例如 2.5）與分數（例如 4/7）。系統會自動約分並盡量保留計算精度。
可以計算更大的矩陣嗎？
可以，支援最大 8×8。不過矩陣越大計算時間越長，尤其使用伴隨矩陣法時更明顯。
反矩陣有哪些實際用途？
反矩陣常用於解線性方程組、電腦圖學、密碼學、控制系統，以及多種工程與資料科學應用。
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