Řešení kvadratické rovnice krok za krokem

Řešič kvadratické rovnice najde kořeny libovolné kvadratické rovnice ve standardním tvaru a x² + b x + c = 0, zobrazí diskriminant, vrchol, osu souměrnosti, průsečík, faktorizovaný/vrcholový tvar, pokud je to možné, a vypíše postup řešení krok za krokem. Používá klasický kvadratický vzorec a definice popsané v Encyclopædia Britannica (referenční článek o kvadratických rovnicích). Tento online nástroj je zvláště užitečný pro české studenty při přípravě na maturitu a školní úlohy a pracuje s obvyklými zápisy a jednotkami používanými v Česku.

Sdílet tohle?

Jak používat

Zadejte číselné hodnoty pro a, b, c (s a ≠ 0 pro skutečnou kvadratickou rovnici).
Stiskněte Řešit. Použijte Vymazat vše pro vymazání a zadání další úlohy.
Přečtěte si panel s výsledky a blok „Krok za krokem“. V případě potřeby si kroky zkopírujte přímo do poznámek.

Co nástroj zobrazuje

Standardní tvar: Přesná rovnice sestavená z vašich vstupních hodnot.
Diskriminant Δ = b² − 4ac a povaha kořenů:
- Δ > 0 → dva různé reálné kořeny.
- Δ = 0 → jeden reálný dvojný kořen.
- Δ < 0 → komplexně sdružené kořeny; žádná reálná řešení.
Kořeny: Přesné číselné hodnoty. Komplexní kořeny se zobrazí jako p ± q i.
Vrchol a osa souměrnosti: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; osa je x = h.
Směr otevírání: parabola se otevírá nahoru, pokud a > 0, a dolů, pokud a < 0.
Průsečík s osou y: c.
Vrcholový tvar: y = a(x − h)² + k s h, k vypočtenými z vašich vstupů.
Faktorizovaný tvar: a(x − r₁)(x − r₂), pokud jsou kořeny reálné; v opačném případě označeno jako „nerozložitelný nad ℝ“.
Krok za krokem: Postup krok za krokem: spočítá Δ, dosadí do vzorce a zjednoduší na konečné kořeny. Pro Δ < 0 výslovně uvádí „Žádná reálná řešení nad ℝ“ a zapíše komplexní tvar.

Použité vzorce

Kvadratický vzorec: x = (-b ± √Δ) / (2a), kde Δ = b² − 4ac.
Vrchol: (h, k) s h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Osa souměrnosti: x = h.
Faktorizace: pokud jsou kořeny reálné, jsou x - r₁ a x - r₂ lineárními faktory.

Vypracované příklady

Dva reálné kořeny: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 nebo x = -0.5 → faktory 2(x - 3)(x + 0.5).

Dvojný kořen: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (dvojný kořen) → vrchol v (3, 0).

Žádná reálná řešení: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → nerozložitelný nad ℝ.

Praktický příklad (v metrech): Profil oblouku mostu modelovaný rovnicí -x² + 4x - 3 = 0 má kořeny x = 1 m a x = 3 m, což jsou body, kde oblouk dosahuje úrovně 0 m (např. základny průsečíku s vrstevnicí).

Tipy a úskalí

Ujistěte se, že je rovnice v standardním tvaru před zadáním koeficientů. Přesuňte všechny členy na levou stranu.
Pokud mají všechny koeficienty společný dělitel, nejprve je vydělte, abyste zjednodušili výpočty.
Pro náhled grafu zkontrolujte znaménko a a vrchol (h, k). Minimum/maksimum nastává v x = h.
Jednotky jsou abstraktní. Pokud má problém uvedené jednotky, kořeny mají stejné jednotky v ose x jako původní model (např. m, cm).

FAQ

Znamená „žádná reálná řešení“, že neexistuje odpověď? Znamená to, že řešení jsou komplexní. Nad reálnými čísly neexistuje žádné x, které by rovnici vyhovovalo; nad komplexními čísly existují dva kořeny, které nástroj zobrazí.

Mohu zadávat desetinná nebo velká čísla? Ano. Nástroj zpracovává celá čísla, desetinná čísla i vědecký (exponenciální) zápis. Výsledky se zobrazují s přesností až na šest desetinných míst nebo v exponenciálním zápisu, pokud to vyžaduje rozsah čísel.

Proč jsou faktory někdy skryté? Faktorizovaný tvar se zobrazí jen tehdy, jsou‑li kořeny reálné. Při komplexních kořenech není reálná faktorizace možná; nástroj to označí jako „nerozložitelný nad ℝ“.

CalcuLife.com