三邊長計算三角形面積的工具

使用海龍公式的三邊長（AB、BC、CA）計算三角形面積的線上計算器。它檢查三角形不等式，顯示一個比例圖，頂點為 A、B、C，並為不可能的組合繪製清晰的「屋頂嘗試」。該圖保持邊長的正確視覺比例。標籤顯示在邊上（AB、BC、CA）和頂點上（A、B、C）。

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使用方法

1. 輸入三個正的邊長，分別為 AB、BC 和 CA。
2. 按下 計算。
3. 查看面積 S 並檢查計算過程和圖示。
4. 使用 小數位數 控制結果和標籤的四捨五入。

注意：如果邊長無法形成三角形，結果顯示「不存在」，並且可視化將最長的邊作為底邊，繪製兩條不相交的虛線，突顯出間隙。

所有邊長使用一致的單位；面積將以這些單位的平方表示（平方公尺 m²、平方公分 cm²、平方英寸 in²、平方英尺 ft² 等）。

公式

三角形不等式（存在性）： AB + BC > CA，AB + CA > BC，BC + CA > AB（均為嚴格不等式）。

半周長： s = (AB + BC + CA) / 2

海龍公式（面積）： S = √[ s(s − AB)(s − BC)(s − CA) ]

• 等效形式：S = (1/4) √[(AB + BC + CA)(−AB + BC + CA)(AB − BC + CA)(AB + BC − CA)]。
• 從面積到 AB 的高度：h_AB = 2S / AB（對其他底邊類似）。
• 與內切圓半徑 r 和外接圓半徑 R：S = r·s = (AB·BC·CA)/(4R)。
• 等邊三角形（邊長 a）：S = (√3/4)·a²。

範例值

有趣的事實

• 海龍的結果：該公式歸功於亞歷山大的海龍（公元1世紀），只需要邊長，無需角度或高度。
• 海龍三角形：邊長和面積均為整數的三角形（例如，3-4-5 的面積 S = 6）稱為海龍三角形。
• 最大面積：對於固定周長，等邊三角形擁有最大的面積。對於兩條固定邊，當夾角為 90° 時，面積達到最大。
• 退化：當一個邊長的和等於第三邊（例如，20、13、7），該「三角形」會退化為一條線段，面積 S = 0。
• 檢查：從面積 S 和一條底邊，可以直接恢復高度、內切圓半徑（r = S/s）和外接圓半徑（R = AB·BC·CA/(4S)）。

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