Решатель квадратных уравнений онлайн по шагам

Решатель квадратных уравнений находит корни любого квадратного уравнения в стандартной форме a x2 + b x + c = 0, показывает дискриминант, вершину, ось симметрии, пересечение с осями, при возможности — вид в виде множителей и вершинную форму, а также печатает пошаговое решение. Он использует классическую квадратную формулу и определения, описанные в Encyclopædia Britannica (справка по квадратному уравнению). Этот онлайн-инструмент особенно полезен российским студентам и школьникам — например, при подготовке к ОГЭ/ЕГЭ и при решении задач из российских учебников.

—

Поделиться этим?

Копировать ссылку ✓

Как пользоваться

1. Введите числовые значения для a, b, c (при этом a ≠ 0 для настоящего квадратного уравнения).
2. Нажмите Решить. Используйте Очистить всё, чтобы сбросить поля и начать новое задание.
3. Прочитайте панель результатов и блок «Пошаговое решение». При необходимости скопируйте шаги в тетрадь.

Что показывает решатель

• Стандартная форма: Точное уравнение, составленное из ваших вводных данных.
• Дискриминант Δ = b2 − 4ac и природа корней:
  • Δ > 0 → два различных вещественных корня.
  • Δ = 0 → один вещественный корень кратности два.
  • Δ < 0 → комплексно‑сопряжённые корни; вещественных решений нет.
• Корни: Точные численные значения. Комплексные корни отображаются в виде p ± q i.
• Вершина и ось: h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c; ось симметрии: x = h.
• Ветви параболы: вверх, если a > 0, вниз, если a < 0.
• Пересечение с осью y: c.
• Вершинная форма: y = a(x − h)2 + k с h, k, вычисленными по вашим значениям.
• Вид в виде множителей: a(x − r1)(x − r2), когда корни вещественные; иначе помечается как «неразложимо над ℝ».
• Пошагово: Пошаговое выкладывание: вычисление Δ, подстановка в формулу, упрощение до окончательных корней. Для Δ < 0 явно указывается «Нет вещественных решений в ℝ» и приводится комплексная форма.

Используемые формулы

• Квадратная формула: x = (-b ± √Δ) / (2a), где Δ = b2 − 4ac.
• Вершина: (h, k), где h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c.
• Ось симметрии: x = h.
• Разложение на множители: если корни вещественные, то x - r1 и x - r2 — линейные множители.

Разбор примеров

Два вещественных корня: 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 или x = -0.5 → разложение 2(x - 3)(x + 0.5). Пример можно интерпретировать практично: если x — ширина земельного участка в метрах, полученные значения дают возможные решения геометрической задачи с размерами в метрах.

Кратный корень: x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (двойной корень) → вершина в точке (3, 0). В прикладном контексте это может означать, например, что при параметрах длины в сантиметрах оптимальное значение x = 3 см даёт экстремум.

Нет вещественных решений: x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → неразложимо над ℝ. В инженерной задаче с единицами (например, секунды или метры) это означает, что при заданных параметрах реального физического решения нет, существуют только комплексные формулы.

Советы и подводные камни

• Убедитесь, что уравнение приведено к стандартной форме перед вводом коэффициентов. Перенесите все члены в левую часть.
• Если у всех коэффициентов есть общий множитель, сначала разделите на него, чтобы упростить вычисления.
• Для анализа графика проверьте знак a и вершину (h, k). Минимум/максимум функции достигается при x = h.
• Единицы измерения абстрактны. Если в задаче используются единицы (метры, секунды, рубли и т.д.), корни будут иметь те же единицы по оси x, что и оригинальная модель.

Часто задаваемые вопросы

Означает ли «нет вещественных решений», что ответа нет? Это значит, что решения комплексные. В вещественных числах нет x, которые удовлетворяют уравнению; в комплексных числах есть два решения, которые показывает решатель.

Могу ли я вводить десятичные или большие числа? Да. Решатель работает с целыми числами, десятичными дробями и научной записью. Результаты отображаются с точностью до шести знаков после запятой или в научной записи при необходимости.

Почему иногда отсутствует разложение на множители? Вид в виде множителей показывается только при вещественных корнях. При комплексных корнях вещественное разложение невозможно; инструмент помечает такое уравнение как «неразложимо над ℝ».

CalcuLife.com