Kwadratische vergelijking oplossen

De Quadratic Equation Solver vindt de wortels van elke kwadratische vergelijking in standaardvorm a x² + b x + c = 0, toont de discriminant, de top, de symmetrieas, het snijpunt met de y-as, de gefactoreerde/topvorm wanneer mogelijk, en geeft een stap-voor-stap afleiding. Het gebruikt de klassieke kwadratische formule en definities zoals gedocumenteerd in Encyclopædia Britannica (referentie kwadratische vergelijking). Dit hulpmiddel is bijzonder geschikt voor Nederlandse leerlingen en docenten (havo/vwo) en sluit goed aan bij voorbeelden met SI-eenheden die in Nederland gebruikelijk zijn.

Dit delen?

Hoe te gebruiken

Voer numerieke waarden in voor a, b, c (met a ≠ 0 voor een echte kwadratische vergelijking).
Druk op Oplossen. Gebruik Alles wissen om te resetten en een nieuwe opgave te starten.
Lees het resultaatpaneel en het blok “Stap-voor-stap”. Kopieer de stappen rechtstreeks naar een schrift indien nodig.

Wat de solver toont

Standaardvorm: De exacte vergelijking samengesteld uit uw invoer.
Discriminant Δ = b² − 4ac en de aard van de wortels:
- Δ > 0 → twee verschillende reële wortels.
- Δ = 0 → één reële dubbele wortel.
- Δ < 0 → complexe geconjugeerde wortels; geen reële oplossingen.
Wortels: Exacte numerieke waarden. Complexe wortels verschijnen als p ± q i.
Top en symmetrieas: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; de as is x = h.
Opent: naar boven als a > 0, naar beneden als a < 0.
Snijpunt met de y-as: c.
Topvorm: y = a(x − h)² + k met h, k uit uw invoer.
Gefactoreerde vorm: a(x − r₁)(x − r₂) wanneer wortels reëel zijn; anders gemarkeerd als “irreducibel over ℝ”.
Stap-voor-stap: Een regel-voor-regel afleiding: bereken Δ, vul in de formule in, vereenvoudig naar de uiteindelijke wortels. Bij Δ < 0 staat expliciet “Geen reële oplossingen over ℝ” en wordt de complexe vorm geschreven.

Gebruikte formules

Kwadratische formule: x = (-b ± √Δ) / (2a), waar Δ = b² − 4ac.
Top: (h, k) met h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Symmetrieas: x = h.
Factoriseren: als wortels reëel zijn, zijn x - r₁ en x - r₂ de lineaire factoren.

Voorbeelden met uitwerking

Twee reële wortels: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 of x = -0.5 → factoren 2(x - 3)(x + 0.5). (In dit voorbeeld kan x een afstand in meters voorstellen, zoals bij het bepalen van snijpunten van een parabolische boog.)

Dubbele wortel: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (dubbele wortel) → top op (3, 0). (Hier kan x bijvoorbeeld in meters worden geïnterpreteerd bij een lokaal meetprobleem.)

Geen reële oplossingen: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → irreducibel over ℝ. (In toepassingen met fysieke eenheden betekent dit dat er geen reële afstand of tijd is die aan de vergelijking voldoet.)

Tips en valkuilen

Controleer of de vergelijking in standaardvorm staat voordat u de coëfficiënten invoert. Breng alle termen naar de linkerkant.
Als alle coëfficiënten een gemeenschappelijke factor delen, deel eerst om de rekenkundige handelingen te vereenvoudigen.
Voor grafische inzichten controleer het teken van a en de top (h, k). Het minimum/maximale punt ligt op x = h.
Eenheden zijn abstract. Als het probleem eenheden gebruikt (bijv. meters, seconden), dragen de wortels dezelfde x-eenheden als het oorspronkelijke model.

Veelgestelde vragen

Betekent “geen reële oplossingen” dat er geen antwoord is? Het betekent dat de oplossingen complex zijn. Over de reële getallen bestaat er geen x die aan de vergelijking voldoet; over de complexe getallen zijn er twee oplossingen die de solver toont.

Kan ik decimalen of grote getallen invoeren? Ja. De solver verwerkt gehele getallen, decimalen en wetenschappelijke notatie. Resultaten worden weergegeven tot zes decimalen of in wetenschappelijke notatie indien nodig.

Waarom ontbreken de factoren soms? De gefactoreerde vorm wordt alleen getoond wanneer de wortels reëel zijn. Bij complexe wortels is een reële factorisatie niet mogelijk; het hulpmiddel labelt dit als “irreducibel over ℝ”.

CalcuLife.com