Quadratische Gleichung lösen — Schritt für Schritt

Quadratic Equation Solver findet die Nullstellen jeder quadratischen Gleichung in Normalform a x² + b x + c = 0, zeigt die Diskriminante, den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse, den Achsenabschnitt, die Scheitel- und Faktorform, soweit möglich, und druckt eine Schritt-für-Schritt-Herleitung. Es verwendet die klassische Mitternachtsformel und die Definitionen, wie sie in der Encyclopædia Britannica dokumentiert sind (Referenz zur quadratischen Gleichung). Dieses Online‑Werkzeug ist besonders nützlich für Schülerinnen und Schüler sowie Studierende in Deutschland – etwa zur Vorbereitung auf das Abitur oder für ingenieurwissenschaftliche Anwendungen –, da es mit den in deutschen Lehrplänen gebräuchlichen Begriffen und Notationen arbeitet.

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Wie man es benutzt

Geben Sie numerische Werte für a, b, c ein (mit a ≠ 0 für eine echte quadratische Gleichung).
Drücken Sie Lösen. Verwenden Sie Alles löschen, um zurückzusetzen und ein neues Beispiel zu berechnen.
Lesen Sie das Ergebnisfeld und den Block „Schritt-für-Schritt“. Kopieren Sie die Schritte bei Bedarf direkt in ein Heft.

Was der Solver anzeigt

Normalform: Die genaue Gleichung, zusammengesetzt aus Ihren Eingaben.
Diskriminante Δ = b² − 4ac und die Art der Nullstellen:
- Δ > 0 → zwei verschiedene reelle Nullstellen.
- Δ = 0 → eine reelle doppelte Nullstelle.
- Δ < 0 → komplexe konjugierte Nullstellen; keine reellen Lösungen.
Nullstellen: Exakte numerische Werte. Komplexe Wurzeln erscheinen als p ± q i.
Scheitelpunkt und Achse: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; die Symmetrieachse ist x = h.
Öffnung: öffnet nach oben, wenn a > 0, nach unten, wenn a < 0.
y‑Achsenabschnitt: c.
Scheitelpunktform: y = a(x − h)² + k mit den berechneten h, k.
Faktorform: a(x − r₁)(x − r₂), wenn die Nullstellen reell sind; andernfalls als „über ℝ irreduzibel“ gekennzeichnet.
Schritt-für-Schritt: Eine Zeile-für-Zeile-Herleitung: Δ berechnen, in die Formel einsetzen, bis zu den vereinfachten Nullstellen. Bei Δ < 0 wird explizit angegeben „Keine reellen Lösungen über ℝ“ und die komplexe Form ausgegeben.

Verwendete Formeln

Mitternachtsformel: x = (-b ± √Δ) / (2a), wobei Δ = b² − 4ac.
Scheitelpunkt: (h, k) mit h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Symmetrieachse: x = h.
Faktorisierung: Sind die Nullstellen reell, so sind x - r₁ und x - r₂ die Linearfaktoren.

Beispielrechnungen

Zwei reelle Nullstellen: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 oder x = -0,5 → Faktoren 2(x - 3)(x + 0,5).

Doppelte Nullstelle: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (doppelte Nullstelle) → Scheitelpunkt bei (3, 0).

Keine reellen Lösungen: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → über ℝ irreduzibel.

Praktisches Anwendungsbeispiel (mit SI‑Einheiten): Die Wurfparabel einer Kugel kann näherungsweise durch h(t) = -4,905 t² + 10 t + 1,5 (in Metern, mit g ≈ 9,81 m/s²) beschrieben werden. Zur Bestimmung der Zeitpunkte, zu denen die Kugel den Boden erreicht (h(t)=0), löst man die entsprechende quadratische Gleichung; die resultierenden t‑Werte sind in Sekunden anzugeben.

Tipps und Fallstricke

Stellen Sie sicher, dass die Gleichung vor der Eingabe in Normalform steht. Bringen Sie alle Terme auf die linke Seite.
Wenn alle Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler haben, kürzen Sie zuerst, um die Rechenarbeit zu vereinfachen.
Für grafische Einsichten prüfen Sie das Vorzeichen von a und den Scheitelpunkt (h, k). Minimum oder Maximum liegt bei x = h.
Einheiten sind abstrakt. Falls das Problem Einheiten verwendet, haben die Nullstellen dieselben x‑Einheiten wie das ursprüngliche Modell (z. B. Meter, Sekunden, Euro).

FAQ

Bedeutet „keine reellen Lösungen“ keine Lösung? Nein — es bedeutet, dass die Lösungen komplex sind. Über den reellen Zahlen gibt es kein x, das die Gleichung erfüllt; über den komplexen Zahlen gibt es zwei Lösungen, die der Solver anzeigt.

Kann ich Dezimalzahlen oder große Zahlen eingeben? Ja. Der Solver verarbeitet ganze Zahlen, Dezimalzahlen und wissenschaftliche Schreibweise. Ergebnisse werden bis zu sechs Dezimalstellen oder in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt, falls nötig.

Warum fehlen manchmal die Faktoren? Die Faktorform wird nur angezeigt, wenn die Nullstellen reell sind. Bei komplexen Nullstellen ist eine Faktorisierung über ℝ nicht möglich; das Werkzeug kennzeichnet dies als „über ℝ irreduzibel“.

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