Løsning af andengradsligninger trin for trin

Andengradsløseren finder rødderne til enhver andengradsligning i standardform a x² + b x + c = 0, viser diskriminanten, toppunktet, symmetriaksen, skæringen med y-aksen, den faktoriserede/vertex-form når det er muligt, og udskriver en trin‑for‑trin udledning. Den bruger den klassiske andengradssformel og definitionerne dokumenteret i Encyclopædia Britannica (opslag om andengradsligninger). Værktøjet er særligt nyttigt for danske elever og studerende, da det matcher de metoder, der undervises i danske gymnasier og universiteter, og nemt kan anvendes med metriske enheder som meter og centimeter.

Del dette?

Sådan bruger du

Skriv numeriske værdier for a, b, c (med a ≠ 0 for en ægte andengradsligning).
Tryk på Løs. Brug Ryd alle for at nulstille og starte et nyt problem.
Læs resultaterne i panelet og blokken “Trin‑for‑trin”. Kopiér gerne trinene direkte ind i en notesbog, hvis det er nødvendigt.

Hvad løseren viser

Standardform: Den nøjagtige ligning samlet fra dine indtastninger.
Diskriminant Δ = b² − 4ac og arten af rødderne:
- Δ > 0 → to forskellige reelle rødder.
- Δ = 0 → én reel dobbeltrod.
- Δ < 0 → komplekse konjugerede rødder; ingen reelle løsninger.
Rødder: Eksakte numeriske værdier. Komplekse rødder vises som p ± q i.
Toppunkt og akse: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; symmetriaksen er x = h.
Åbning: Parablen åbner opad hvis a > 0, nedad hvis a < 0.
y-aksens skæringspunkt: c.
Toppunktform: y = a(x − h)² + k med h, k fra dine indtastninger.
Faktoriseret form: a(x − r₁)(x − r₂) når rødderne er reelle; ellers markeret som “irreduktibel over ℝ”.
Trin‑for‑trin: En linje‑for‑linje udledning: beregn Δ, indsæt i formlen, forenkl til de endelige rødder. For Δ < 0 står der eksplicit “Ingen reelle løsninger over ℝ” og den komplekse form fremgår.

Anvendte formler

Andengradssformlen: x = (-b ± √Δ) / (2a), hvor Δ = b² − 4ac.
Toppunkt: (h, k) med h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Symmetriakse: x = h.
Faktoriseringsnote: hvis rødderne er reelle, er x - r₁ og x - r₂ de lineære faktorer.

Arbejdede eksempler

To reelle rødder: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 eller x = -0,5 → faktorer 2(x - 3)(x + 0,5). (Eksempelvis kunne denne ligning beskrive tværsnitsgeometri i meter for en lille buet konstruktion; løsningerne angiver positioner i meter langs x‑aksen.)

Gentagen rod: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (dobbeltrod) → toppunkt i (3, 0). (I en dansk skoleopgave kunne dette svare til et maksimum/minimum i en modelmåling i cm eller m afhængig af opgaven.)

Ingen reelle løsninger: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → irreduktibel over ℝ. (Sådanne komplekse rødder dukker op i teoretiske modeller og er ikke reelle positioner i f.eks. meter eller kroner.)

Tips og faldgruber

Bekræft at ligningen er i standardform, før du indtaster koefficienterne. Flyt alle termer over på venstre side.
Hvis alle koefficienter har en fælles faktor, divider først for at forenkle regningen.
For grafisk indsigt, tjek fortegnet af a og toppunktet (h, k). Minimum/maximum findes ved x = h.
Enheder er abstrakte. Hvis opgaven bruger enheder, har rødderne de samme x‑enheder som den oprindelige model (fx meter, centimeter eller DKK).

Ofte stillede spørgsmål

Betyder “ingen reelle løsninger” at der ikke er nogen løsning? Det betyder, at løsningerne er komplekse. Over de reelle tal findes der ikke noget x, der opfylder ligningen; over de komplekse tal er der to løsninger, som løseren viser.

Kan jeg indtaste decimaler eller store tal? Ja. Løseren håndterer heltal, decimaler og videnskabelig notation. Resultater vises med op til seks decimaler eller i videnskabelig notation efter behov.

Hvorfor mangler faktorerne nogle gange? Faktoriseret form vises kun, når rødderne er reelle. Ved komplekse rødder er reel faktorisering umulig; værktøjet markerer det som “irreduktibel over ℝ”.

CalcuLife.com