二次方程式求解器可找出任一標準式 a x2 + b x + c = 0 的根，並顯示判別式、頂點、對稱軸、截距、在可行時的因式／頂點形式，還會列出逐步推導。它使用經典的二次公式與《大英百科全書》中記載的定義（二次方程式參考）。此求解器對台灣的高中與大學理工學生，以及教師在備課與檢核習題答案時特別實用。
使用說明
- 輸入數值係數 a、b、c（若為真正的二次方程式需滿足 a ≠ 0）。
- 按下 Solve（求解）。使用 Clear All 可重設並開始另一題。
- 閱讀結果面板與「逐步推導」區塊。若需要，可將步驟直接複製到筆記本中。
求解器會顯示的內容
- 標準式：根據您輸入的係數組成的精確方程式。
- 判別式
Δ = b2 − 4ac以及根的性質：Δ > 0→ 兩個互異的實根。Δ = 0→ 一個重根（實數重根）。Δ < 0→ 共軛複數根；在實數範圍內無解。
- 根：精確的數值。複數根以
p ± q i的形式顯示。 - 頂點與對稱軸：
h = -b/(2a),k = a h2 + b h + c；對稱軸為x = h。 - 開口方向： 若
a > 0向上；若a < 0向下。 - y 截距：
c。 - 頂點形式：
y = a(x − h)2 + k，其中h, k由您的輸入決定。 - 因式分解形式： 當根為實數時顯示為
a(x − r1)(x − r2)；否則標註為「在 ℝ 上不可約」。 - 逐步推導： 逐行顯示推導：計算
Δ、代入公式、化簡得最終根。當Δ < 0時，會明確註記「在實數範圍內無實數解」，並寫出複數形式。
使用的公式
- 二次公式：
x = (-b ± √Δ) / (2a)，其中Δ = b2 − 4ac。 - 頂點：
(h, k)，其中h = -b/(2a)，k = a h2 + b h + c。 - 對稱軸：
x = h。 - 因式分解提示： 若根為實數，則
x - r1與x - r2為線性因子。
範例演算
兩個實根： 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 或 x = -0.5 → 因式為 2(x - 3)(x + 0.5)。（若把 x 解釋為長度，單位為公尺，則一解為 3 m，另一解為 -0.5 m；在長度情境下負值沒有物理意義。）
重根： x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3（重根）→ 頂點在 (3, 0)。（例如若 x 以公尺為單位，頂點為 (3 m, 0)。）
無實數解： x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → 在實數範圍內不可約。（在交流電或控制系統等台灣理工類課程中，出現複數根是常見且有實際意義的情況，例如描述阻抗或振盪特性。）
提示與常見錯誤
- 輸入前請確認方程式已為標準形式，必要時把所有項移到左邊。
- 若所有係數都有共同因子，先除以最大公因數以簡化運算。
- 欲觀察圖形特性，檢查
a的符號與頂點(h, k)。最小值／最大值會出現在x = h。 - 單位通常是抽象的。若題目使用單位，解的單位與原模型的 x 單位相同（例如公尺、公分、公斤等）。
常見問答
「無實數解」是不是代表沒有答案？ 這表示解為複數。在實數範圍內沒有滿足方程式的 x；但在複數範圍內有兩個解，求解器會顯示它們。
我可以輸入小數或很大的數嗎？ 可以。求解器可處理整數、小數以及科學記號。結果會顯示到小數點後最多六位，必要時以科學記號表示。
為什麼有時看不到因式分解形式？ 因式分解形式僅在根為實數時顯示。若根為複數，則在實數範圍內無法因式分解；工具會標示為「在 ℝ 上不可約」。
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