Dieser Online-Rechner berechnet die Fläche eines Dreiecks aus drei Seitenlängen (AB, BC, CA) mit der Heronschen Formel. Er prüft die Dreiecksungleichung, zeigt ein proportionales Diagramm mit den Eckpunkten A, B, C und zeichnet bei unmöglichen Werten einen „Dachversuch“. Das Diagramm hält die Seitenlängen im richtigen Größenverhältnis. Beschriftungen erscheinen an den Kanten (AB, BC, CA) und an den Eckpunkten (A, B, C).
Dreiecksfläche-Rechner (3 Seiten)
Geben Sie die Seitenlängen AB, BC, CA ein. Die Fläche (S) wird mit der Heron-Formel berechnet. Das Diagramm zeigt proportionale Kanten/Vertices (A, B, C; AB, BC, CA). Bei unmöglichen Sätzen erscheint ein „Dach-Versuch“ mit Lücke und das Ergebnis lautet „existiert nicht“.
Seite AB
Seite BC
Seite CA
Fläche (S)
Bedienung
- Gib drei positive Seitenlängen für AB, BC und CA ein.
- Klicke auf Berechnen.
- Lies die Fläche S ab und überprüfe die Herleitung sowie das Diagramm.
- Stelle mit Dezimalstellen ein, wie stark das Ergebnis und die Beschriftungen gerundet werden.
Hinweise: Falls die Seiten kein Dreieck bilden können, erscheint das Ergebnis „existiert nicht“ und die Visualisierung zeichnet die längste Seite als Basis mit zwei gestrichelten Armen, die sich nicht treffen und so die Lücke verdeutlichen.
Verwende konsistente Einheiten für alle Seiten; die Fläche wird in der entsprechenden Flächeneinheit ausgegeben (m², cm², in², ft² usw.).
Formeln
Dreiecksungleichung (Existenz): AB + BC > CA, AB + CA > BC, BC + CA > AB (alle strikt).
Halbperimeter: s = (AB + BC + CA) / 2
Heronsche Formel (Fläche): S = √[ s(s − AB)(s − BC)(s − CA) ]
- Äquivalente Form: S = (1/4) √[(AB + BC + CA)(−AB + BC + CA)(AB − BC + CA)(AB + BC − CA)].
- Von Fläche zu Höhe auf AB: hAB = 2S / AB (analog für andere Basen).
- Mit Inkreisradius r und Umkreisradius R: S = r·s = (AB·BC·CA)/(4R).
- Gleichseitig (Seite a): S = (√3/4)·a².
Beispielwerte
| AB | BC | CA | Gültig? | Fläche S |
| 3 | 4 | 5 | Ja | 6 |
| 5 | 5 | 6 | Ja | 12 |
| 7 | 5 | 6 | Ja | 14.6969 |
| 8 | 8 | 8 | Ja | 27.7128 |
| 10 | 6 | 8 | Ja | 24 |
| 9 | 12 | 15 | Ja | 54 |
| 2.5 | 4 | 5 | Ja | 4.9525 |
| 12 | 13 | 5 | Ja | 30 |
| 20 | 13 | 7 | Nein | — |
| 6.5 | 6.5 | 4.2 | Ja | 12.918 |
| 15 | 14 | 9 | Ja | 61.6441 |
| 30 | 29 | 10 | Ja | 144.6373 |
| 100 | 120 | 150 | Ja | 5981.168 |
| 1.2 | 1.3 | 2.4 | Ja | 0.4196 |
| 9 | 9 | 18 | Nein | — |
Interessante Fakten
- Herons Ergebnis: Die Formel wird Heron von Alexandria (1. Jh. n. Chr.) zugeschrieben und benötigt nur Seitenlängen, keine Winkel oder Höhen.
- Heronische Dreiecke: Dreiecke mit ganzzahligen Seiten und ganzzahliger Fläche (z. B. 3-4-5 mit S = 6) werden Heronisch genannt.
- Maximale Fläche: Bei festem Umfang hat das gleichseitige Dreieck die größte Fläche. Bei zwei festen Seiten ist die Fläche maximal, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt.
- Degeneration: Wenn eine Seitensumme der dritten Seite entspricht (z. B. 20, 13, 7), „fällt“ das Dreieck zu einem Segment zusammen und S = 0.
- Überprüfungen: Aus S und einer Basis können Höhen, Inkreisradius (r = S/s) und Umkreisradius (R = AB·BC·CA/(4S)) direkt bestimmt werden.
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