Arccos Rechner Online – Inverse Kosinus

Verwenden Sie diesen Arccos (inverse Kosinus) Rechner, um den Hauptwinkel θ aus einem Kosinuswert x zu erhalten. Die Mathematik hinter dem Tool folgt der standardmäßigen Definition der inversen trigonometrischen Funktionen, wie sie in der Digitalen Bibliothek der Mathematischen Funktionen des NIST dokumentiert ist (siehe Inverse Trigonometrische Funktionen unter dlmf.nist.gov/4.23).

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Wie der Arccos-Rechner funktioniert

1. Sie geben eine Zahl x zwischen −1 und 1 ein.
2. Das Tool berechnet θ = arccos(x) als den Hauptwert in Bogenmaß und zeigt auch die Grad an.
3. Es zeigt auch sin(θ) und eine klare Einheitkreisvisualisierung des Radius, der Projektionen und des Punktes an.

Definition und Formel

Arccos gibt den Hauptwinkel θ zurück, der cos(θ) = x erfüllt.

• Eingabebereich: x ∈ [−1, 1]
• Ausgabebereich (Hauptwert): θ ∈ [0, π] Bogenmaß, was [0°, 180°] entspricht
• Umrechnung: Grad = Bogenmaß × 180/π

Schlüsselidentität: Wenn cos(θ) = x, dann θ = arccos(x). Für Winkel außerhalb des Hauptbereichs existieren weitere Lösungen: 2π − θ usw. Dieses Tool gibt den Hauptwert standardmäßig aus.

Eingaben, Ausgaben und Genauigkeit

• Gültige Eingabe x: jede reelle Zahl von −1 bis 1. Werte außerhalb dieses Bereichs sind für reelle Winkel undefiniert.
• Winkelformate: Das Tool zeigt sowohl Grad als auch Bogenmaß an.
• Dezimalstellen: Verwenden Sie die Steuerung „Dezimalstellen“, um die Rundung festzulegen (0–10). Bogenmaß profitiert oft von 4–6 Dezimalstellen; Grad sind normalerweise mit 2–4 ausreichend.

Schnelle Beispiele

• x = 1 → θ = 0 rad = 0°
• x = 0,5 → θ = arccos(0,5) = π/3 ≈ 1,0472 rad ≈ 60°
• x = 0 → θ = π/2 ≈ 1,5708 rad ≈ 90°
• x = −1 → θ = π ≈ 3,1416 rad = 180°

Einheitskreis-Interpretation

Im Einheitskreis (Radius 1) ist x die benachbarte Seite des rechtwinkligen Dreiecks, das von der positiven x-Achse zu dem Punkt auf dem Kreis gebaut wird, und √(1 − x²) ist die gegenüberliegende Seite. Arccos gibt den Winkel θ zurück, der den Punkt bei (x, √(1 − x²)) auf dem oberen Halbkreis oder (x, 0) an den Endpunkten platziert. Die Darstellung zeigt den Radius zu diesem Punkt und gestrichelte Projektionen auf die Achsen.

Häufige Anwendungen von Arccos

• Winkel zwischen Vektoren: mit normalisierten Vektoren u und v, u·v = cos(θ) ⇒ θ = arccos(u·v).
• Geometrie und Dreiecke: einen Winkel aus Seitenlängen über den Kosinussatz zurückgewinnen.
• Robotik und 3D-Grafik: Skalarprodukte in Winkel für Beleuchtung, Kamera und Pose-Berechnungen umwandeln.
• Signalverarbeitung: Phasenbeziehungen und Korrelationswinkel.

Genauigkeits- und Rundungsnotizen

• Gleitkomma-Eingaben nahe ±1 können Rundungsrauschen verstärken. Wenn ein Wert wie 1,0000001 erscheint, begrenzen Sie ihn auf 1 für ein stabiles Ergebnis.
• Bogenmaß hat exakte einfache Formen für spezielle Winkel (π/3, π/2, π). Die Dezimalanzeige zeigt gerundete Annäherungen.
• Wenn Sie maximale Präzision benötigen, erhöhen Sie die Steuerung für Dezimalstellen und lesen Sie den Bogenmaßwert ab.

FAQ

Ist Arccos dasselbe wie cos⁻¹?
Ja. cos⁻¹(x) bedeutet die inverse Funktion arccos(x), nicht 1/cos(x).

Warum lehnt der Rechner Werte kleiner als −1 oder größer als 1 ab?
Für reelle Winkel ist der Kosinus auf [−1, 1] beschränkt. Eingaben außerhalb dieses Intervalls haben kein reelles Arccos.

Warum erhalte ich nur einen Winkel?
Der Rechner gibt den Hauptwert in [0, π] zurück. Es existieren andere gleichwertige oder ergänzende Winkel, aber der Hauptzweig ist standardmäßig für inverse trigonometrische Funktionen und hält die Ergebnisse vorhersehbar.

Sollte ich Grad oder Bogenmaß verwenden?
Verwenden Sie Grad für die alltägliche Interpretation und Bogenmaß für Analysis, Physik und die meisten Programmierbibliotheken.

Was ist Ihr Anwendungsfall für diesen Rechner? Möchten Sie andere Werkzeuge oder Funktionen? Lassen Sie es uns in den Kommentaren wissen!

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