Lösare av andragradsekvationer

Lösare för andragradsekvationer hittar rötterna (lösningarna) till vilken andragradsekvation som helst i standardform a x² + b x + c = 0, visar diskriminanten, toppunkt, symmetrilinje, skärningspunkt, faktorerad/toppunktsform när det är möjligt, och skriver ut en steg-för-steg-härledning. Den använder den klassiska PQ-/andragradformeln och definitioner dokumenterade i Encyclopædia Britannica (quadratic equation reference). I Sverige används sådana verktyg ofta i gymnasiets matematikundervisning och vid tekniska beräkningar — till exempel för att bestämma toppunkten på en parabel som beskriver en backe eller en projektilbana i meter.

Dela det här?

Så använder du den

Skriv in numeriska värden för a, b, c (med a ≠ 0 för en äkta andragradsekvation).
Tryck på Lös. Använd Rensa allt för att återställa och börja ett nytt problem.
Läs resultatpanelen och blocket ”Steg-för-steg”. Kopiera gärna stegen direkt till ett anteckningsblock vid behov.

Vad lösaren visar

Standardform: Den exakta ekvationen sammansatt från dina inmatningar.
Diskriminant Δ = b² − 4ac och karaktären hos rötterna:
- Δ > 0 → två distinkta reella rötter.
- Δ = 0 → en reell dubbelrot.
- Δ < 0 → komplexa konjugatrot; inga reella lösningar.
Rötter: Exakta numeriska värden. Komplexa rötter visas som p ± q i.
Toppunkt och axel: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; symmetrilinjen är x = h.
Öppning: öppnar uppåt om a > 0, nedåt om a < 0.
y-axelns skärningspunkt: c.
Toppunktsform: y = a(x − h)² + k med h, k från dina inmatningar.
Faktorerad form: a(x − r₁)(x − r₂) när rötterna är reella; annars märkt som ”kan ej faktoriseras över ℝ”.
Steg-för-steg: En rad-för-rad-härledning: beräkna Δ, sätt in i formeln, förenkla till de slutliga rötterna. För Δ < 0 anges uttryckligen ”Inga reella lösningar över ℝ” och den komplexa formen skrivs ut.

Använda formler

Andragradens formel: x = (-b ± √Δ) / (2a), där Δ = b² − 4ac.
Toppunkt: (h, k) med h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Symmetrilinje: x = h.
Faktorisering: om rötterna är reella är x - r_1</sub och x - r₂ de linjära faktorerna.

Genomgångsexempel

Två reella rötter: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 eller x = -0.5 → faktorer 2(x - 3)(x + 0.5). (Exempelvis kan samma typ av ekvation beskriva höjden i meter för ett föremål i en enkel modell av en projektilbana.)

Dubbelrot: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (dubbelrot) → toppunkt vid (3, 0). (Tänk dig en idealiserad parabel som beskriver tvärsnittet av en brobåge i meter.)

Inga reella lösningar: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → kan inte faktoriseras över ℝ. (Sådana ekvationer kan dyka upp i teoretiska modeller där den reella tolkningen saknar fysisk mening i meter.)

Tips och fallgropar

Kontrollera att ekvationen är i standardform innan du matar in koefficienterna. Flytta alla termer till vänster sida.
Om alla koefficienter har en gemensam faktor, dividera först för att förenkla beräkningarna.
För grafisk insikt, kontrollera tecknet på a och toppunkten (h, k). Minimalt eller maximalt värde uppstår vid x = h.
Enheter är abstrakta. Om problemet använder enheter får rötterna samma x-enheter som ursprungsmodellen (t.ex. meter, centimeter eller sekunder beroende på kontext).

FAQ

Betyder ”inga reella lösningar” att det inte finns något svar? Det betyder att lösningarna är komplexa. Över de reella talen finns inget x som uppfyller ekvationen; över de komplexa talen finns två lösningar som verktyget visar.

Kan jag ange decimaler eller stora tal? Ja. Lösaren hanterar heltal, decimaler och exponentform. Resultaten visas upp till sex decimaler eller i vetenskaplig notation vid behov.

Varför saknas faktorerna ibland? Faktorerad form visas endast när rötterna är reella. Vid komplexa rötter är en faktorisering över ℝ omöjlig; verktyget markerar detta med ”kan ej faktoriseras över ℝ”.

CalcuLife.com