Steg-for-steg kvadratisk ligningsløser

Kvadratisk likningsløser finner røttene til enhver kvadratisk ligning i standardform a x2 + b x + c = 0, viser diskriminanten, toppunktet, symmetriaksen, skjæringen med y-aksen, faktorisert/toppunktform når mulig, og skriver ut en trinnvis utledning. Den bruker den klassiske kvadratiske formelen og definisjonene dokumentert i Encyclopædia Britannica (referanse for kvadratisk likning). Verktøyet er nyttig for norske elever og lærere og kan enkelt brukes med lokale måleenheter som meter og sekunder i undervisning og oppgaveløsning i Norge.

—

Dele dette?

Kopier lenke ✓

Hvordan bruke

1. Skriv inn numeriske verdier for a, b, c (med a ≠ 0 for en ekte kvadratisk ligning).
2. Trykk Løs. Bruk Nullstill for å tilbakestille og starte på et nytt oppgave.
3. Les resultatpanelet og blokken «Trinnvis». Kopier trinnene direkte inn i notatboken om nødvendig.

Hva løseren viser

• Standardform: Den eksakte ligningen satt sammen fra dine inndata.
• Diskriminant Δ = b2 − 4ac og rotenes natur:
  • Δ > 0 → to forskjellige reelle røtter.
  • Δ = 0 → én reell dobbeltrot.
  • Δ < 0 → komplekse konjugerte røtter; ingen reelle løsninger.
• Røtter: Eksakte numeriske verdier. Komplekse røtter vises som p ± q i.
• Toppunkt og akse: h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c; symmetriaksen er x = h.
• Parabelen åpner: oppover hvis a > 0, nedover hvis a < 0.
• y-avskjæring: c.
• Toppunktform: y = a(x − h)2 + k med h, k fra dine inndata.
• Faktorisert form: a(x − r1)(x − r2) når røttene er reelle; ellers merkes det som «ufaktorerbar over ℝ».
• Trinnvis: En linje-for-linje utledning: regn ut Δ, sett inn i formelen, forenkle til endelige røtter. For Δ < 0 står det eksplisitt «Ingen reelle løsninger over ℝ» og den komplekse formen skrives ut.

Brukte formler

• Kvadratisk formel: x = (-b ± √Δ) / (2a), der Δ = b2 − 4ac.
• Toppunkt: (h, k) med h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c.
• Symmetriakse: x = h.
• Faktorisering: hvis røttene er reelle, er x - r1 og x - r2 de lineære faktorene.

Eksempler

To reelle røtter: 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 eller x = -0.5. Hvis x for eksempel representerer en lengde i et lokalt byggeprosjekt, ville løsningene være x = 3 m eller x = -0,5 m (negativ verdi kan være ikke-fysisk i den konteksten).

Dobbeltrot: x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (dobbeltrot) → toppunkt i (3, 0), for eksempel 3 m langs x-aksen hvis x måles i meter.

Ingen reelle løsninger: x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → ufaktorerbar over ℝ.

Tips og fallgruver

• Bekreft at ligningen er i standardform før du legger inn koeffisientene. Flytt alle ledd til venstre side.
• Hvis alle koeffisientene har en felles faktor, divider først for å forenkle utregningene.
• For grafisk innsikt, sjekk fortegnet til a og toppunktet (h, k). Minimum/maksimum oppstår ved x = h.
• Enheter er abstrakte. Hvis oppgaven bruker enheter, har røttene samme x-enheter som den opprinnelige modellen (for norske praktiske problemer vil dette typisk være SI-enheter som meter og sekunder).

FAQ

Bety «ingen reelle løsninger» at det ikke finnes noe svar? Det betyr at løsningene er komplekse. Over de reelle tallene finnes det ingen x som tilfredsstiller ligningen; over de komplekse tallene finnes det to løsninger som løseren viser.

Kan jeg taste inn desimaler eller store tall? Ja. Løseren håndterer heltall, desimaler og vitenskapelig notasjon. Resultater vises opptil seks desimaler eller i vitenskapelig notasjon ved behov.

Hvorfor mangler faktorene noen ganger? Faktorisert form vises kun når røttene er reelle. Ved komplekse røtter er reell faktorisering umulig; verktøyet merker det som «ufaktorerbar over ℝ».

CalcuLife.com