Le Résolveur d’équations du second degré trouve les racines de toute équation quadratique sous la forme standard a x2 + b x + c = 0, affiche le discriminant, le sommet, l’axe de symétrie, l’ordonnée à l’origine, les formes factorisée/canonique lorsque c’est possible, et imprime une dérivation pas à pas. Il utilise la formule quadratique classique et les définitions documentées dans l’Encyclopædia Britannica (référence sur les équations quadratiques). Cet outil est particulièrement utile aux lycéens et étudiants en France pour réviser les notions du baccalauréat et des classes préparatoires, avec des exemples et unités familiers (mètres, secondes, euros).

Résolveur d'équations du second degré
Équation
ax2 + bx + c = 0
a ≠ 0 pour une équation du second degré
Résultats
Forme standard : —
Discriminant (Δ) : —
Racines : —
Sommet (h, k) : —
Axe de symétrie : —
Ouverture : —
Ordonnée à l'origine : —
Étapes détaillées
—
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Comment l’utiliser

  1. Saisissez des valeurs numériques pour a, b, c (avec a ≠ 0 pour une vraie quadratique).
  2. Appuyez sur Résoudre. Utilisez Tout effacer pour réinitialiser et commencer un autre exercice.
  3. Lisez le panneau des résultats et le bloc « Étapes détaillées ». Copiez les étapes directement dans un cahier si besoin.

Ce que montre le résolveur

  • Forme standard : L’équation exacte reconstituée à partir de vos saisies.
  • Discriminant Δ = b2 − 4ac et la nature des racines :
    • Δ > 0 → deux racines réelles distinctes.
    • Δ = 0 → une racine réelle double.
    • Δ < 0 → racines conjuguées complexes ; aucune solution réelle.
  • Racines : Valeurs numériques exactes. Les racines complexes apparaissent sous la forme p ± q i.
  • Sommet et axe : h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c ; l’axe est x = h.
  • Ouverture : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
  • Ordonnée à l’origine : c.
  • Forme canonique (forme sommet) : y = a(x − h)2 + k avec h, k calculés à partir de vos paramètres.
  • Forme factorisée : a(x − r1)(x − r2) lorsque les racines sont réelles ; sinon indiqué « irréductible sur ℝ ».
  • Étapes détaillées : Une dérivation ligne par ligne : calcul de Δ, substitution dans la formule, simplification jusqu’aux racines finales. Pour Δ < 0 il est explicitement indiqué « Aucune solution réelle sur ℝ » et la forme complexe est écrite.

Formules utilisées

  • Formule quadratique : x = (-b ± √Δ) / (2a), où Δ = b2 − 4ac.
  • Sommet : (h, k) avec h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c.
  • Axe de symétrie : x = h.
  • Lien avec la factorisation : si les racines sont réelles, x - r1 et x - r2 sont les facteurs linéaires.

Exemples résolus

Deux racines réelles : 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 ou x = -0.5 → facteurs 2(x - 3)(x + 0.5). Contexte local : cela peut modéliser la différence entre deux coûts en euros (x exprimé en €) pour un produit vendu sur le marché français.

Racine double : x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (racine double) → sommet en (3, 0). Application locale : situation d’optimisation (par exemple la largeur optimale d’une parcelle en mètres si l’aire est maximisée pour une valeur unique).

Pas de solution réelle : x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → irréductible sur ℝ. Exemple concret : un modèle de trajectoire (unités en mètres et secondes) qui n’atteint jamais un certain niveau de hauteur requis.

Résolution d'équations quadratiques pas à pas

Conseils et pièges

  • Vérifiez que l’équation est bien sous forme standard avant d’entrer les coefficients. Ramenez tous les termes du même côté.
  • Si tous les coefficients ont un facteur commun, divisez d’abord pour simplifier le calcul.
  • Pour visualiser le graphe, vérifiez le signe de a et le sommet (h, k). Le minimum/maximum se produit en x = h.
  • Les unités sont abstraites. Si le problème utilise des unités, les racines ont les mêmes unités en x que le modèle d’origine (par ex. mètres, secondes, euros).

Foire aux questions

« Pas de solutions réelles » signifie‑t‑il qu’il n’y a pas de réponse ? Cela signifie que les solutions sont complexes. Sur les réels il n’existe aucun x satisfaisant l’équation ; sur les complexes il y a deux solutions que le résolveur affiche.

Puis‑je entrer des décimales ou de grands nombres ? Oui. Le résolveur gère les entiers, les décimales et la notation scientifique. Les résultats s’affichent avec jusqu’à six décimales ou en notation scientifique si nécessaire.

Pourquoi la forme factorisée manque‑t‑elle parfois ? La forme factorisée n’est affichée que lorsque les racines sont réelles. Avec des racines complexes la factorisation réelle est impossible ; l’outil la marque « irréductible sur ℝ ».

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