Dieser Rechner ermittelt das Volumen eines Parallelepipeds in zwei Modi: Rechteckig (L × B × H) und Schief (Vektoren a, b, c über |a · (b × c)|). Ein 3D-Diagramm passt sich deinen Eingaben an, sodass du die Figur visualisieren kannst.
Parallelepiped-Volumenrechner
Berechnet das Volumen als L×W×H (rechteckig) oder |a·(b×c)| (schräg). Modus unten wählen.
Länge (L)
Breite (W)
Höhe (H)
Vektor a (x, y, z)
Vektor b (x, y, z)
Vektor c (x, y, z)
Volumen (V)
Hauptfunktionen
- Zwei Modi entsprechend der Umschaltung: Rechteckig und Schief.
- Konfigurierbare Dezimalstellen (Standard 2).
- Ergebnis in die Zwischenablage kopieren.
- Live-3D-Visualisierung mit beschrifteten Achsen/Vektoren.
Anleitung
- Schalte auf Rechteckig oder Schief.
- Gib ein:
- Rechteckig: Länge (L), Breite (B), Höhe (H).
- Schief: a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz), c = (cx, cy, cz).
- Klicke auf Berechnen. Das Ergebnis (V) und das Diagramm aktualisieren sich.
- Optional Dezimalstellen anpassen oder Ergebnis kopieren.
Einheiten & Eingaben
Verwende beliebige Längeneinheiten (m, cm, in …). Die Ausgabe ist kubisch (m³, cm³, in³). Eine Dimension mit Null oder koplanare Vektoren ergeben V = 0 (degeneriert).
Formeln
Rechteckig: V = L × B × H.
Schief: V = |a · (b × c)|, wobei b × c = (by·cz − bz·cy, bz·cx − bx·cz, bx·cy − by·cx) und a · (b × c) = ax(b×c)x + ay(b×c)y + az(b×c)z.
Determinantenform: V = | det([a b c]) | = | ax bx cx |, | ay by cy |, | az bz cz |.
Quellen: Wolfram Mathworld, Wikipedia.
Referenzwerte — Rechteckig (Beispiele)
| L | B | H | V |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 2 | 1.5 | 9 |
| 4 | 1.2 | 2.3 | 11.04 |
| 5 | 0.8 | 0.4 | 1.6 |
| 2.5 | 2.5 | 2.5 | 15.625 |
| 6 | 3 | 1 | 18 |
| 7.5 | 2 | 0.75 | 11.25 |
| 10 | 1.2 | 0.6 | 7.2 |
| 0.5 | 0.5 | 3 | 0.75 |
| 8 | 4 | 2 | 64 |
| 3.3 | 1.1 | 2.2 | 7.986 |
Referenzwerte — Schief (Beispiele)
| a | b | c | V = |a·(b×c)| |
| (1, 0, 0) | (0, 1, 0) | (0, 0, 1) | 1 |
| (2, 0, 0) | (0, 3, 0) | (0, 0, 1.5) | 9 |
| (1, 2, 0) | (0, 1, 1) | (1, 0, 1) | 3 |
| (2, 1, 1) | (1, 3, 0) | (0, 2, 4) | 22 |
| (3, −1, 0.5) | (0.5, 2, 1) | (1, 0, 2) | 11 |
| (1, 1, 1) | (1, 2, 3) | (2, 1, 0) | 0 |
| (4, 0, 0) | (1, 1, 0) | (0, 1, 1) | 4 |
| (0, 2, 1) | (1, 0, 2) | (2, 1, 0) | 9 |
| (2.5, 0, 0) | (0, 2.5, 0) | (0, 0, 2.5) | 15.625 |
| (1, 1, 0) | (2, 2, 0) | (0, 0, 5) | 0 |
Wichtige Hinweise
- Das Vorzeichen von a·(b×c) zeigt die Orientierung; das Volumen verwendet |·|.
- a, b, c koplanar ⇒ V = 0 (linear abhängig).
- V² entspricht det(Gram(a,b,c)).
- Rechteckig ist der Spezialfall a ⟂ b ⟂ c mit |a|=L, |b|=B, |c|=H.
- Vertauschen von zwei Vektoren ändert das Vorzeichen des Dreifachprodukts, nicht |V|.
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