مُحلّل المعادلة التربيعية يجد جذور أي معادلة تربيعية في الشكل القياسي a x2 + b x + c = 0، ويعرض المميز، والرأس، ومحور التماثل، والتقاطع، والشكل في صورة عوامل/شكل الرأس عندما يكون ذلك ممكنًا، ويطبع اشتقاقًا خطوة بخطوة. يستخدم الصيغة التربيعية الكلاسيكية والتعاريف الموثّقة في موسوعة بريتانيكا (مرجع المعادلة التربيعية). هذا الأداة مفيدة لطلبة المدارس والجامعات والمهندسين في البلدان العربية لأنها تعرض النتائج بالصياغة المألوفة وتسهّل تطبيقات القياسات بالمتر والسنتيمتر المستخدمة شائعًا في المنطقة.
كيفية الاستخدام
- اكتب قيمًا عددية لـ a، b، c (مع شرط a ≠ 0 لتكون معادلة تربيعية صحيحة).
- اضغط حلّ. استخدم مسح الكل لإعادة الضبط وبدء مسألة جديدة.
- اقرأ لوحة النتائج ومربع «خطوة بخطوة». انسخ الخطوات مباشرة إلى دفتر ملاحظاتك إذا لزم الأمر.
ما الذي يعرضه المُحلّل
- الشكل القياسي: المعادلة الدقيقة المركبة من مدخلاتك.
- المميز
Δ = b2 − 4acوطبيعة الجذور:Δ > 0→ جذران حقيقيان مختلفان.Δ = 0→ جذر حقيقي مكرر واحد.Δ < 0→ جذور مركبة مرايا؛ لا توجد حلول حقيقية.
- الجذور: قيم عددية دقيقة. الجذور المركبة تظهر بالشكل
p ± q i. - الرأس ومحور التماثل:
h = -b/(2a)،k = a h2 + b h + c؛ والمحور هوx = h. - اتجاه فتح البارابولا: للأعلى إذا كان
a > 0، وللأسفل إذا كانa < 0. - تقاطع y:
c. - شكل الرأس:
y = a(x − h)2 + kمعh, kمن مدخلاتك. - الشكل في صورة عوامِل:
a(x − r1)(x − r2)عندما تكون الجذور حقيقية؛ وإلا يُعَلَّم بأنه «غير قابل للاختزال على ℝ». - خطوة بخطوة: اشتقاق سطري: حساب
Δ، التعويض في الصيغة، تبسيط إلى الجذور النهائية. بالنسبة لـΔ < 0يذكر صراحةً «لا حلول حقيقية على ℝ» ويكتب الشكل المركب.
الصيغ المستخدمة
- الصيغة التربيعية:
x = (-b ± √Δ) / (2a)، حيثΔ = b2 − 4ac. - الرأس:
(h, k)معh = -b/(2a)،k = a h2 + b h + c. - محور التماثل:
x = h. - رابط التّحليل إلى عوامل: إذا كانت الجذور حقيقية، فـ
x - r1وx - r2هما العوامل الخطية.
أمثلة محلولة
جذران حقيقيان (مثال عددي مع قياسات مألوفة): لنفترض تصميم حافة حديقة طولها يُمثَّل بالمتغير x بالمتر، والمعادلة 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 أو x = -0.5. في سياق القياسات، نعتمد الجذر الموجب x = 3 م (الجذر السالب غير مناسب كمقدار طول)، والعوامل 2(x - 3)(x + 0.5).
جذر مكرر (مثال على قمة منحنى لمسار سقف/قوس): المعادلة x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (جذر مزدوج). إذا كان x بالمتر، فإن القمة تقع عند (3 م, 0) — مثلاً نصف عرض القوس 3 م تقريبًا، مع محور تماثل عند x = 3.
لا توجد حلول حقيقية (مثال تفسيري): المعادلة x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → غير قابلة للاختزال على ℝ. في نموذج هندسي بمعطيات مماثلة هذا يعني أن المنحنى لا يقطع محور x — لا يوجد موقع واقعي (بالأمتار) يحقق y = 0.
نصائح ومزالق
- تأكد من أن المعادلة في الشكل القياسي قبل إدخال المعاملات. انقل كل الحدود إلى الطرف الأيسر.
- إذا كانت جميع المعاملات تشترك في قاسم مشترك، اقسم أولًا لتبسيط الحسابات.
- للحصول على فكرة عن الرسم البياني، افتح إشارة
aوتحقق من الرأس(h, k). الحدّ الأدنى/الأقصى يحدث عندx = h. - الوحدات مجردة. إذا كانت المشكلة تستخدم وحدات، فإن الجذور تحمل نفس وحدات x كما في النموذج الأصلي (في البلدان العربية عادةً تُستخدم الأمتار/السنتيمترات).
الأسئلة الشائعة
هل «لا حلول حقيقية» يعني لا يوجد جواب؟ يعني ذلك أن الحلول مركبة. فوق الأعداد الحقيقية لا يوجد x يحقق المعادلة؛ أما فوق الأعداد المركبة فهناك حلّان يعرضهما المحلل.
هل يمكن إدخال أعداد عشرية أو أرقام كبيرة؟ نعم. يتعامل المحلل مع الأعداد الصحيحة والعشرية والكتابة العلمية. تُعرض النتائج حتى ستة منازل عشرية أو بالكتابة العلمية عند الحاجة.
لماذا تختفي العوامل أحيانًا؟ يَعرَض الشكل في صورة عوامل فقط عندما تكون الجذور حقيقية. مع الجذور المركبة لا توجد عملية تحليل إلى عوامل حقيقية؛ وتُسمى الأداة النتيجة «غير قابل للاختزال على ℝ».
CalcuLife.com
اترك تعليقًا