平行六面體體積計算器線上版

這個計算器可以在兩種模式下計算平行六面體的體積：矩形（L × W × H）和斜面（通過 |a · (b × c)| 的向量 a、b、c）。3D 圖示會根據您的輸入進行縮放，讓您能夠可視化您的圖形。這個工具特別適合台灣的學生和工程師，幫助他們在學習和工作中更好地理解三維幾何。

平行六面體體積計算器

計算體積為 L×W×H（長方形）或 |a·(b×c)|（斜方形）。請在下方切換模式。

長方形斜方形

3D 可視化

長度 (L)

寬度 (W)

高度 (H)

體積 (V)

計算過程將顯示在這裡。

小數位數

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主要特點

兩種模式可供切換：矩形和斜面。
可配置的小數位數（預設為 2 位）。
將結果複製到剪貼簿。
實時 3D 可視化，帶有標記的坐標軸/向量。

如何使用

切換模式至矩形或斜面。
輸入：
- 矩形：長度 (L)、寬度 (W)、高度 (H)。
- 斜面：a = (ax, ay, az)、b = (bx, by, bz)、c = (cx, cy, cz)。
點擊計算。結果 (V) 和圖示會更新。
可選擇調整小數位數或複製結果。

單位與輸入

使用任何線性單位（公尺、厘米、英寸等）。輸出單位為立方（m³、cm³、in³）。零維度或共平面向量會產生 V = 0（退化情況）。

公式

矩形：V = L × W × H。

斜面：V = |a · (b × c)|，其中 b × c = (by·cz − bz·cy, bz·cx − bx·cz, bx·cy − by·cx) 和 a · (b × c) = ax(b×c)_x + ay(b×c)_y + az(b×c)_z。

行列式形式：V = | det([a b c]) | = | ax bx cx |, | ay by cy |, | az bz cz |。

來源：Wolfram Mathworld、維基百科。

參考值 — 矩形（範例）

L	W	H	V
1	1	1	1
2	1.5	0.5	1.5
3	2	1.5	9
4	1.2	2.3	11.04
5	0.8	0.4	1.6
2.5	2.5	2.5	15.625
6	3	1	18
7.5	2	0.75	11.25
10	1.2	0.6	7.2
0.5	0.5	3	0.75
8	4	2	64
3.3	1.1	2.2	7.986

參考值 — 斜面（範例）

a	b	c	V = \|a·(b×c)\|
(1, 0, 0)	(0, 1, 0)	(0, 0, 1)	1
(2, 0, 0)	(0, 3, 0)	(0, 0, 1.5)	9
(1, 2, 0)	(0, 1, 1)	(1, 0, 1)	3
(2, 1, 1)	(1, 3, 0)	(0, 2, 4)	22
(3, −1, 0.5)	(0.5, 2, 1)	(1, 0, 2)	11
(1, 1, 1)	(1, 2, 3)	(2, 1, 0)	0
(4, 0, 0)	(1, 1, 0)	(0, 1, 1)	4
(0, 2, 1)	(1, 0, 2)	(2, 1, 0)	9
(2.5, 0, 0)	(0, 2.5, 0)	(0, 0, 2.5)	15.625
(1, 1, 0)	(2, 2, 0)	(0, 0, 5)	0

重要注意事項

a·(b×c) 的符號表示方向；體積使用 |·|。
a、b、c 共平面 ⇒ V = 0（線性依賴）。
V² 等於 det(Gram(a,b,c))。
矩形是特殊情況 a ⟂ b ⟂ c，且 |a|=L、|b|=W、|c|=H。
交換任意兩個向量會翻轉三重積符號，但不會改變 |V|。

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