Giải phương trình bậc hai từng bước

Trình giải phương trình bậc hai tìm các nghiệm của bất kỳ phương trình bậc hai ở dạng chuẩn a x² + b x + c = 0, hiển thị biệt thức (discriminant), đỉnh, trục đối xứng, giao điểm, dạng nhân/tích và dạng đỉnh khi có thể, đồng thời in ra lời dẫn giải từng bước. Nó sử dụng công thức bậc hai cổ điển và các định nghĩa được ghi nhận trong Encyclopædia Britannica (tham khảo phương trình bậc hai). Công cụ này đặc biệt hữu ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên tại Việt Nam khi ôn tập cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và các bài toán thực hành theo chương trình phổ thông và đại học, vì hướng dẫn từng bước phù hợp với cách trình bày ở nước ta.

Chia sẻ nội dung này?

Cách sử dụng

Nhập giá trị số cho a, b, c (với a ≠ 0 để là phương trình bậc hai thực sự).
Nhấn Solve. Dùng Clear All để đặt lại và bắt đầu bài toán khác.
Đọc bảng kết quả và khối “Step-by-step” (Từng bước). Sao chép các bước trực tiếp vào sổ tay nếu cần.

Những gì công cụ hiển thị

Dạng chuẩn: Phương trình chính xác được ghép từ các giá trị bạn nhập.
Biệt thức Δ = b² − 4ac và bản chất của nghiệm:
- Δ > 0 → hai nghiệm thực phân biệt.
- Δ = 0 → một nghiệm thực lặp.
- Δ < 0 → nghiệm phức liên hợp; không có nghiệm thực.
Nghiệm: Giá trị số chính xác. Nghiệm phức hiển thị dạng p ± q i.
Đỉnh và trục: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; trục đối xứng là x = h.
Hướng mở: lên nếu a > 0, xuống nếu a < 0.
Giao điểm với trục y: c.
Dạng đỉnh: y = a(x − h)² + k với h, k từ các giá trị bạn nhập.
Dạng nhân tử: a(x − r₁)(x − r₂) khi các nghiệm là thực; nếu không thì ghi chú “không phân tích được trên ℝ”.
Từng bước: Lời giải từng dòng: tính Δ, thay vào công thức, rút gọn đến nghiệm cuối cùng. Với Δ < 0 công cụ sẽ nêu rõ “Không có nghiệm thực trên ℝ” và viết dạng nghiệm phức.

Công thức sử dụng

Công thức bậc hai: x = (-b ± √Δ) / (2a), với Δ = b² − 4ac.
Đỉnh: (h, k) với h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Trục đối xứng: x = h.
Liên hệ với phân tích: nếu nghiệm là thực, x - r₁ và x - r₂ là các nhân tử tuyến tính.

Ví dụ minh họa

Hai nghiệm thực (ví dụ thực tế, đơn vị mét): Xét phương trình 2x² - 5x - 3 = 0. Ta có Δ = (-5)² + 24 = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 hoặc x = -0.5. Trong một bài toán thực tế, nếu x là khoảng cách theo mét thì nghiệm âm không phù hợp về ý nghĩa vật lý; các nhân tử là 2(x - 3)(x + 0.5).

Nghiệm lặp: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (nghiệm kép) → đỉnh tại (3, 0). Ví dụ: nếu mô tả hình parabol của một mái vòm nhỏ có trục x tính theo mét thì đỉnh cho vị trí cực trị của chiều cao.

Không có nghiệm thực (ví dụ với đơn vị mét): x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → không phân tích được trên ℝ (không có nghiệm thực).

Mẹo và lưu ý

Xác nhận phương trình ở dạng chuẩn trước khi nhập hệ số. Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái.
Nếu mọi hệ số cùng chia hết cho một ước chung, hãy chia trước để đơn giản hóa tính toán.
Để hiểu đồ thị, kiểm tra dấu của a và đỉnh (h, k). Giá trị nhỏ nhất/nhỏ nhất hoặc lớn nhất xảy ra tại x = h.
Đơn vị thường trừu tượng. Nếu bài toán dùng đơn vị (ví dụ mét, cm), nghiệm sẽ mang cùng đơn vị theo biến x của mô hình ban đầu.

Câu hỏi thường gặp

“Không có nghiệm thực” có nghĩa là không có đáp án? Nghĩa là nghiệm thuộc về số phức. Trên tập số thực không có x thỏa mãn phương trình; trên tập số phức thì có hai nghiệm mà công cụ sẽ hiển thị.

Tôi có thể nhập số thập phân hoặc số lớn không? Có. Công cụ xử lý số nguyên, số thập phân và ký hiệu khoa học. Kết quả hiển thị đến sáu chữ số thập phân hoặc dạng ký hiệu khoa học khi cần.

Tại sao đôi khi thiếu dạng nhân tử? Dạng nhân tử chỉ được hiển thị khi nghiệm là thực. Với nghiệm phức, việc phân tích thành nhân tử tuyến tính trên ℝ là không thể; công cụ sẽ ghi chú “không phân tích được trên ℝ”.

CalcuLife.com