Rozwiązywacz równania kwadratowego znajduje pierwiastki dowolnego równania kwadratowego w postaci standardowej a x2 + b x + c = 0, pokazuje wyróżnik (dyskryminant), wierzchołek, oś symetrii, punkt przecięcia z osią OY, postać iloczynową / kanoniczną (jeśli możliwe) oraz drukuje krok po kroku wyprowadzenie. Korzysta z klasycznego wzoru kwadratowego oraz definicji opisanych w Encyclopædia Britannica (odniesienie — równanie kwadratowe). To narzędzie jest szczególnie przydatne dla uczniów i studentów w Polsce przygotowujących się do matury z matematyki oraz dla nauczycieli i korepetytorów, ponieważ odzwierciedla standardowy zakres materiału i sposób zapisu używany w polskich zadaniach.

Rozwiązywacz równań kwadratowych
Równanie
ax2 + bx + c = 0
a ≠ 0 dla równania kwadratowego
Wyniki
Postać standardowa: —
Dyskryminant (Δ): —
Pierwiastki: —
Wierzchołek (h, k): —
Oś symetrii: —
Kierunek ramion: —
Punkt przecięcia z osią y: —
Krok po kroku
—
Udostępnić to?
WhatsApp X Telegram Facebook LinkedIn Reddit

Jak używać

  1. Wpisz wartości liczbowe dla a, b, c (z a ≠ 0 dla rzeczywistego równania kwadratowego).
  2. Naciśnij Solve. Użyj Clear All, aby zresetować i rozpocząć inne zadanie.
  3. Przejrzyj panel wyników oraz blok „Krok po kroku”. Skopiuj kolejne kroki bezpośrednio do notatnika, jeśli to konieczne.

Co pokazuje rozwiązywacz

  • Postać standardowa: Dokładne równanie złożone z podanych współczynników.
  • Dyskryminant Δ = b2 − 4ac oraz charakter pierwiastków:
    • Δ > 0 → dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
    • Δ = 0 → jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty.
    • Δ < 0 → sprzężone zespolone pierwiastki; brak rozwiązań rzeczywistych.
  • Pierwiastki: Dokładne wartości liczbowe. Pierwiastki zespolone wyświetlane są jako p ± q i.
  • Wierzchołek i oś: h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c; oś symetrii to x = h.
  • Skierowanie paraboli: w górę, gdy a > 0, w dół, gdy a < 0.
  • Przecięcie z osią OY: c.
  • Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y = a(x − h)2 + k z h, k wyliczonymi z Twoich danych.
  • Postać iloczynowa: a(x − r1)(x − r2) gdy pierwiastki są rzeczywiste; w przeciwnym razie oznaczone jako „nierozkładalne nad ℝ”.
  • Krok po kroku: Wyprowadzenie linia po linii: obliczenie Δ, podstawienie do wzoru, uproszczenie do końcowych pierwiastków. Dla Δ < 0 explicite podane jest „Brak rozwiązań rzeczywistych w ℝ” i zapisana postać zespolona.

Użyte wzory

  • Wzór kwadratowy: x = (-b ± √Δ) / (2a), gdzie Δ = b2 − 4ac.
  • Wierzchołek: (h, k) z h = -b/(2a), k = a h2 + b h + c.
  • Oś symetrii: x = h.
  • Faktoryzacja: jeśli pierwiastki są rzeczywiste, to x - r1 i x - r2 są czynnikami liniowymi.

Przykłady obliczeniowe

Dwa różne pierwiastki (przykład praktyczny — model w układzie SI): 2x2 - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 lub x = -0.5 → postać iloczynowa 2(x - 3)(x + 0.5) (jednostki x: metry, jeśli równanie opisuje np. odległość).

Podwójny pierwiastek (typowy przykład z zadań maturalnych): x2 - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (pierwiastek podwójny) → wierzchołek w (3, 0) (jednostki: metry).

Brak rozwiązań rzeczywistych (przykład z modelu z przesunięciem): x2 + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → nierozkładalne nad ℝ (jeśli równanie pochodzi z modelu fizycznego, oznacza to brak rzeczywistych miejsc zerowych w metrach).

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku

Wskazówki i pułapki

  • Upewnij się, że równanie jest w postaci standardowej przed wpisaniem współczynników. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę.
  • Jeśli każdy współczynnik ma wspólny dzielnik, najpierw podziel przez największy wspólny dzielnik, aby uprościć rachunki.
  • Dla wglądu w wykres zwróć uwagę na znak a i wierzchołek (h, k). Minimum/maksimum występuje przy x = h.
  • Jednostki są abstrakcyjne. Jeśli zadanie używa jednostek, pierwiastki mają te same jednostki co zmienna x w oryginalnym modelu (w Polsce zwykle stosuje się układ SI — metry, sekundy, kilogramy).

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Czy „brak rozwiązań rzeczywistych” oznacza, że nie ma odpowiedzi? Oznacza to, że rozwiązania są zespolone. W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje x spełniające równanie; w zbiorze liczb zespolonych istnieją dwa rozwiązania, które pokazuje rozwiązywacz.

Czy mogę wpisać liczby dziesiętne lub duże liczby? Tak. Narzędzie obsługuje liczby całkowite, dziesiętne oraz zapis wykładniczy. Wyniki wyświetlane są do sześciu miejsc po przecinku lub w notacji wykładniczej, gdy jest to potrzebne.

Dlaczego czasami brakuje postaci iloczynowej? Postać iloczynowa jest podawana tylko wtedy, gdy pierwiastki są rzeczywiste. Dla pierwiastków zespolonych rozkład nad ℝ jest niemożliwy; narzędzie oznacza to jako „nierozkładalne nad ℝ”.

CalcuLife.com