Resolución de ecuaciones cuadráticas paso a paso

El solucionador de ecuaciones cuadráticas encuentra las raíces de cualquier cuadrática en forma estándar a x² + b x + c = 0, muestra el discriminante, el vértice, el eje de simetría, la intersección, las formas factorizada/de vértice cuando es posible, y presenta una derivación paso a paso. Utiliza la clásica fórmula cuadrática y las definiciones documentadas en Encyclopædia Britannica (referencia sobre ecuaciones cuadráticas). Esta herramienta resulta especialmente útil para estudiantes de secundaria, bachillerato y primeros cursos universitarios en España y América Latina que preparan exámenes como la EBAU/Selectividad o prácticas de laboratorio, ya que emplea la terminología y las fórmulas estándar usadas en dichos programas.

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Cómo usar

Escribe valores numéricos para a, b, c (con a ≠ 0 para que sea una cuadrática verdadera).
Pulsa Resolver. Usa Borrar todo para reiniciar y comenzar otro problema.
Lee el panel de resultados y el bloque “Paso a paso”. Copia los pasos directamente en un cuaderno si lo necesitas.

Qué muestra el solucionador

Forma estándar: La ecuación exacta formada a partir de tus entradas.
Discriminante Δ = b² − 4ac y la naturaleza de las raíces:
- Δ > 0 → dos raíces reales distintas.
- Δ = 0 → una raíz real doble.
- Δ < 0 → raíces complejas conjugadas; sin soluciones reales.
Raíces: Valores numéricos exactos. Las raíces complejas aparecen como p ± q i.
Vértice y eje: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; el eje es x = h.
Concavidad: se abre hacia arriba si a > 0, hacia abajo si a < 0.
Intersección con el eje y: c.
Forma de vértice: y = a(x − h)² + k con h, k calculados a partir de tus entradas.
Forma factorizada: a(x − r₁)(x − r₂) cuando las raíces son reales; en otro caso aparece marcado como “irreducible sobre ℝ”.
Paso a paso: Una derivación línea por línea: calcula Δ, sustituye en la fórmula, y simplifica hasta las raíces finales. Para Δ < 0 indica explícitamente “No hay soluciones reales en ℝ” y muestra la forma compleja.

Fórmulas utilizadas

Fórmula cuadrática: x = (-b ± √Δ) / (2a), donde Δ = b² − 4ac.
Vértice: (h, k) con h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Eje de simetría: x = h.
Factorización: si las raíces son reales, x - r₁ y x - r₂ son los factores lineales.

Ejemplos resueltos

Dos raíces reales: 2x² - 5x - 3 = 0 (ejemplo práctico: x en metros) → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 o x = -0.5 → factores 2(x - 3)(x + 0.5).

Raíz repetida: x² - 6x + 9 = 0 (ejemplo práctico: x en centímetros, p. ej. entre marcas de una regla) → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (raíz doble) → vértice en (3, 0).

Sin soluciones reales: x² + 4x + 13 = 0 (ejemplo práctico: x en segundos, p. ej. tiempo que no alcanza cierta altura) → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → irreducible sobre ℝ.

Consejos y errores comunes

Confirma que la ecuación está en forma estándar antes de introducir los coeficientes. Pasa todos los términos al lado izquierdo.
Si todos los coeficientes comparten un factor común, divide primero para simplificar los cálculos.
Para interpretar la gráfica, comprueba el signo de a y el vértice (h, k). El mínimo/máximo ocurre en x = h.
Las unidades son abstractas. Si el problema usa unidades, las raíces tendrán las mismas unidades en las que se modeló la variable x (por ejemplo: metros, segundos, euros); en España y Latinoamérica es habitual emplear el sistema métrico (metros, kg, etc.).

Preguntas frecuentes

¿“No hay soluciones reales” significa que no hay respuesta? Significa que las soluciones son complejas. Sobre los números reales no existe x que satisfaga la ecuación; sobre los números complejos hay dos soluciones que el solucionador muestra.

¿Puedo introducir decimales o números grandes? Sí. El solucionador maneja enteros, decimales y notación científica. Los resultados se muestran con hasta seis decimales o en notación científica cuando es necesario.

¿Por qué a veces faltan los factores? La forma factorizada se muestra solo cuando las raíces son reales. Con raíces complejas la factorización real es imposible; la herramienta lo etiqueta como “irreducible sobre ℝ”.

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