이차방정식 단계별 풀이

이차방정식 풀이기는 표준형 a x² + b x + c = 0의 모든 이차방정식에 대해 근(해)을 찾아 판별식, 꼭짓점, 대칭축, y절편, 가능한 경우 인수분해형/꼭짓점형을 보여주고 단계별 유도 과정을 출력합니다. 고전적인 이차공식과 Encyclopædia Britannica에 문서화된 정의를 사용합니다 (quadratic equation reference). 이 온라인 도구는 한국의 교육과정과 대학수학능력시험(SAT, 수능) 준비, 학교 과제 해결에 유용하도록 실무적으로 활용할 수 있습니다.

이걸 공유하시겠어요?

사용 방법

a, b, c의 숫자 값을 입력하세요 (a ≠ 0이면 진정한 이차방정식입니다).
Solve를 누르세요. 다른 문제를 풀려면 Clear All로 초기화합니다.
결과 패널과 “Step-by-step” 블록을 확인하세요. 필요하면 단계들을 그대로 공책에 복사하세요.

풀이기가 표시하는 항목

표준형: 입력한 값으로 구성한 정확한 방정식.
판별식 Δ = b² − 4ac 및 근의 성질:
- Δ > 0 → 서로 다른 두 실근.
- Δ = 0 → 중복되는 한 개의 실근.
- Δ < 0 → 복소수 켤레근; 실수해는 없음.
근: 정확한 수치값을 표시합니다. 복소근은 p ± q i 형태로 나타납니다.
꼭짓점과 대칭축: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; 대칭축은 x = h입니다.
포물선의 방향: a > 0이면 위로 열리고, a < 0이면 아래로 열립니다.
y절편: c.
꼭짓점형: y = a(x − h)² + k (여기서 h, k는 입력값으로 계산됨).
인수분해형: 근이 실수이면 a(x − r₁)(x − r₂)로 표시됩니다. 그렇지 않으면 “irreducible over ℝ”(실수체에서 약분 불가)로 표기됩니다.
단계별 풀이: 한 줄씩 유도 과정을 보여 줍니다: Δ 계산, 공식을 대입, 최종 근으로 정리. Δ < 0인 경우에는 “실수 범위 ℝ에서는 실근이 없음”을 명시하고 복소수 형태로 풀이합니다.

사용된 공식

이차공식: x = (-b ± √Δ) / (2a), 여기서 Δ = b² − 4ac입니다.
꼭짓점: (h, k)로서 h = -b/(2a), k = a h² + b h + c입니다.
대칭축: x = h.
인수분해 관련: 근이 실수이면 x - r₁와 x - r₂가 선형 인수입니다.

예제 풀이

서로 다른 두 실근: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 또는 x = -0.5 → 인수분해 2(x - 3)(x + 0.5).

중근: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (중근) → 꼭짓점은 (3, 0).

실근 없음: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → 실수체 ℝ에서는 인수분해 불가(irreducible over ℝ).

현실 적용 예(토지 면적): 가로 길이가 x m, 세로가 x+3 m인 직사각형의 면적이 100 m²일 때, x(x+3)=100 → x² + 3x - 100 = 0 → Δ = 9 + 400 = 409 → x = (-3 ± √409)/2 ≈ 8.61 m 또는 음수 해(약 -11.61 m)는 물리적으로 의미가 없으므로 길이는 약 8.61 m가 해입니다.