Risolutore di equazioni quadratiche passo passo

Quadratic Equation Solver trova le radici di qualsiasi quadratica in forma standard a x² + b x + c = 0, mostra il discriminante, il vertice, l’asse di simmetria, l’intercetta, le forme fattorizzata/da vertice quando possibile e stampa una derivazione passo‑passo. Usa la classica formula risolutiva e le definizioni documentate nell’Encyclopædia Britannica (riferimento sull’equazione quadratica). Questo strumento è particolarmente utile per studenti e insegnanti in Italia, dove i programmi liceali e gli esami di Stato richiedono spesso la risoluzione di equazioni quadratiche e gli esempi applicati adottano il sistema metrico comunemente usato nel paese.

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Come usare

Inserisci valori numerici per a, b, c (con a ≠ 0 per una vera quadratica).
Premi Risolvi. Usa Cancella tutto per azzerare e iniziare un altro esercizio.
Leggi il pannello dei risultati e il blocco «Passaggi dettagliati». Copia i passaggi direttamente nel tuo quaderno se necessario.

Cosa mostra lo strumento

Forma standard: L’equazione esatta costruita dai tuoi valori.
Discriminante Δ = b² − 4ac e la natura delle soluzioni:
- Δ > 0 → due soluzioni reali distinte.
- Δ = 0 → una soluzione reale doppia.
- Δ < 0 → radici complesse coniugate; nessuna soluzione reale.
Radici: Valori numerici esatti. Le radici complesse appaiono come p ± q i.
Vertice e asse: h = -b/(2a), k = a h² + b h + c; l’asse è x = h.
Apertura: verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0.
Intercetta y: c.
Forma da vertice: y = a(x − h)² + k con h, k calcolati dai tuoi valori.
Forma fattorizzata: a(x − r₁)(x − r₂) quando le radici sono reali; altrimenti indicata come «irriducibile su ℝ».
Passaggi dettagliati: Una derivazione riga per riga: calcolo di Δ, sostituzione nella formula, semplificazione fino alle radici finali. Per Δ < 0 dichiara esplicitamente «Nessuna soluzione reale su ℝ» e scrive la forma complessa.

Formule utilizzate

Formula risolutiva: x = (-b ± √Δ) / (2a), dove Δ = b² − 4ac.
Vertice: (h, k) con h = -b/(2a), k = a h² + b h + c.
Asse di simmetria: x = h.
Fattorizzazione: se le radici sono reali, x - r₁ e x - r₂ sono i fattori lineari.

Esempi svolti

Due radici reali: 2x² - 5x - 3 = 0 → Δ = 25 + 24 = 49 → x = (5 ± 7)/4 → x = 3 o x = -0.5 → fattori 2(x - 3)(x + 0.5). Se interpretiamo x come una distanza in metri (sistema metrico usato in Italia), le soluzioni corrispondono a x = 3 m e x = -0,5 m; il valore negativo indica una posizione opposta rispetto all’origine del riferimento scelto.

Radice ripetuta: x² - 6x + 9 = 0 → Δ = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (radice doppia) → vertice in (3, 0). In un contesto pratico, se x è espresso in metri, il vertice (3,0) potrebbe rappresentare il punto di minimo o massimo (es. il punto più basso di una sezione parabolica di 3 m dall’origine) di una struttura come un arco o una campata.

Nessuna soluzione reale: x² + 4x + 13 = 0 → Δ = 16 - 52 = -36 → x = (-4 ± i·6)/2 = -2 ± 3i → irriducibile su ℝ. In un’applicazione fisica con unità del Sistema Internazionale (metri, secondi), ciò significa che non esiste un valore reale di x (nessuna distanza o tempo reale) che soddisfi il modello dato.

Consigli e insidie

Verifica che l’equazione sia in forma standard prima di inserire i coefficienti. Porta tutti i termini a sinistra.
Se tutti i coefficienti hanno un fattore comune, dividili prima per semplificare i calcoli.
Per informazioni sul grafico, controlla il segno di a e il vertice (h, k). Il minimo/massimo si verifica in x = h.
Le unità sono astratte. Se il problema usa unità, le radici avranno le stesse unità del modello originale; in Italia questo significa tipicamente unità del Sistema Internazionale (metri, centimetri, secondi, ecc.).

Domande frequenti

«Nessuna soluzione reale» significa che non c’è risposta? Significa che le soluzioni sono complesse. Sui numeri reali non esiste alcun x che soddisfi l’equazione; invece sui numeri complessi ci sono due soluzioni che lo strumento mostra.

Posso inserire decimali o numeri grandi? Sì. Lo strumento gestisce interi, decimali e notazione scientifica. I risultati vengono mostrati fino a sei decimali o in notazione scientifica quando necessario.

Perché a volte mancano i fattori? La forma fattorizzata è mostrata solo quando le radici sono reali. Con radici complesse la fattorizzazione su ℝ è impossibile; lo strumento la etichetta come «irriducibile su ℝ».

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